題目列表(包括答案和解析)
汕頭二中擬建一座長
米，寬
米的長方形體育館．按照建筑要求，每隔
米（
，
為正常數）需打建一個樁位，每個樁位需花費
萬元（樁位視為一點且打在長方形的邊上），樁位之間的米墻面需花
萬元，在不計地板和天花板的情況下，當為何值時，所需總費用最少？
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。先求需打
個樁位．再求解墻面所需費用為：
，最后表示總費用
，利用導數判定單調性，求解最值。
解：由題意可知，需打個樁位．
…………………2分
墻面所需費用為：，……4分
∴所需總費用
（
）…7分
令
，則
當
時，
；當
時，
．
∴當
時，
取極小值為
．而在
內極值點唯一，所以
．∴當時，
（萬元），即每隔3米打建一個樁位時，所需總費用最小為1170萬元．
已知遞增等差數列
滿足：
，且
成等比數列．
（1）求數列的通項公式
；
（2）若不等式
對任意
恒成立，試猜想出實數
的最小值，并證明．
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為
，
由題意可知
，即
，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于
，利用當
時，
；當
時，
；而
，所以猜想，的最小值為
然后加以證明即可。
解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等價于，
當時，；當時，；
而，所以猜想，的最小值為． …………8分
下證不等式
對任意恒成立．
方法一：數學歸納法．
當時，
，成立．
假設當
時，不等式
成立，
當
時，
，
…………10分
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分
方法二：單調性證明．
要證
只要證 
，
設數列
的通項公式
， …………10分
， …………12分
所以對
，都有
，可知數列為單調遞減數列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值為．
已知m>1，直線
，橢圓C：
，
、
分別為橢圓C的左、右焦點.
（Ⅰ）當直線過右焦點時，求直線的方程;
（Ⅱ）設直線與橢圓C交于A、B兩點，△A、△B的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍.[
【解析】第一問中因為直線經過點（
，0），所以＝
，得
.又因為m>1，所以
，故直線的方程為
第二問中設
，由
，消去x，得
，
則由
，知
<8,且有
由題意知O為的中點.由
可知
從而
，設M是GH的中點，則M（
）.
由題意可知，2|MO|<|GH|,得到范圍
若函數
在定義域內存在區間
，滿足在上的值域為，則稱這樣的函數為“優美函數”.
（Ⅰ）判斷函數
是否為“優美函數”？若是，求出
；若不是，說明理由；
（Ⅱ）若函數
為“優美函數”，求實數
的取值范圍．
【解析】第一問中，利用定義，判定由題意得
，由
，所以
第二問中， 由題意得方程
有兩實根
設
所以關于m的方程
在
有兩實根，
即函數
與函數
的圖像在上有兩個不同交點，從而得到t的范圍。
解（I）由題意得，由，所以 （6分）
（II）由題意得方程有兩實根
設所以關于m的方程在有兩實根，
即函數與函數的圖像在上有兩個不同交點。
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。
的最大值。
absinC=
,2abcosC.
.
，
.
-A)
cosA+
)≤