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（08年雅禮中學一模理）(13分）  如圖，設是橢圓的左焦點，直線為對應的準線，直線與軸交于點，線段為橢圓的長軸，已知，且．

（Ⅰ）求證：對于任意的割線，恒有；

（Ⅱ）求三角形△ABF面積的最大值．

 

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（12分）如圖，設是橢圓的左焦點，直線為對應的準線，直線 與軸交于點，為橢圓的長軸，已知，且．
（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：對于任意的割線，恒有；
（3）求三角形△ABF面積的最大值．

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一、選擇題：ADBAA    BCCDB

二、填空題

11.;        12． ;          13．

14．（）③⑤  （）②⑤              15． （）；    （） 0

三、解答題：

16．解：（1）

                                                                …………5分

由成等比數列，知不是最大邊

                                                    …………6分

（2）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1當時，則．此時輪船更安全．

2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．

3當時，則．此時輪船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

故.                             …（12分）

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?

∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）²，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y²＝x²＋?cos60°，?

∴y²＝x²＋－2a²

∴y＝  (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x²＝t，則a²≤t≤4a²

且y＝，設f（t）＝t＋（a²≤t≤4a²）?

當t∈（a²，2a²）時，任取a²＜t₁＜t₂＜2a²，?

f（t₁）－f（t₂）＝（t₁＋）－（t₂＋）

＝（t₁－t₂）?，?

∵a²＜t₁＜t₂＜2a²?

∴t₁t₂＞0，t₁－t₂＞0，t₁t₂－4a⁴＜0?

∴f（t₁）－f（t₂）＞0，即f（t₁）＞f（t₂）?

∴f（x）在（a²，2a²）上是減函數.?

同理可得，f（x）在（2a²，4a²）上是增函數.?

又∵f（2a²）＝4a²，f（a²）＝f（4a²）＝5a²，當t＝2a²時，f（x）有最小值，即x＝a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a²或4a²時，f（x）有最大值，即x＝a或2a時，y有最大值，且y_max＝a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴橢圓的標準方程為．                                      ………（3分）

當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，

當的斜率不為0時，設方程為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．

則

          ，

而

∴，從而．

綜合可知：對于任意的割線，恒有．                ………（8分）

（Ⅱ），

即：，

當且僅當，即（此時適合于的條件）取到等號．

∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）

21.解：（Ⅰ）由

故x>0或x≤－1

f(x)定義域為                          …………………………（4分）

（Ⅱ）

下面使用數學歸納法證明：

①在n=1時，a₁=1，<a₁<2，則n=1時（*）式成立.

②假設n=k時成立，

由

要證明：

只需

只需(2k+1)³≤8k(k+1)²

只需1≤4k²+2k

而4k²+2k≥1在k≥1時恒成立.

只需證：4k²+11k+8>0，而4k²+11k+8>0在k≥1時恒成立.

于是：

因此得證.

綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立.                     ………………9分

（Ⅲ）要證明：

由（2）可知只需證：

…………（**）

下面用分析法證明：（**）式成立。

要使（**）成立，只需證：

即只需證：(3n－2)³n>(3n－1)³(n－1)

只需證：2n>1

而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：

于是由（**）式可知有：

因此有：

                     ……………………………………（13分）

雅禮中學2008屆高三第八次質檢數學（理科）試題參考答案

一、選擇題：ADBAA    BCCDB

二、填空題

11.;        12． ;          13．

14．（）③⑤  （）②⑤              15． （）；    （） 0

三、解答題：

16．解：（1）

                                                                …………5分

由成等比數列，知不是最大邊

                                                    …………6分

（2）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1當時，則．此時輪船更安全．

2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．

3當時，則．此時輪船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

故.                             …（12分）

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?

∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）²，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y²＝x²＋?cos60°，?

∴y²＝x²＋－2a²

∴y＝  (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x²＝t，則a²≤t≤4a²

且y＝，設f（t）＝t＋（a²≤t≤4a²）?

當t∈（a²，2a²）時，任取a²＜t₁＜t₂＜2a²，?

f（t₁）－f（t₂）＝（t₁＋）－（t₂＋）

＝（t₁－t₂）?，?

∵a²＜t₁＜t₂＜2a²?

∴t₁t₂＞0，t₁－t₂＞0，t₁t₂－4a⁴＜0?

∴f（t₁）－f（t₂）＞0，即f（t₁）＞f（t₂）?

∴f（x）在（a²，2a²）上是減函數.?

同理可得，f（x）在（2a²，4a²）上是增函數.?

又∵f（2a²）＝4a²，f（a²）＝f（4a²）＝5a²，當t＝2a²時，f（x）有最小值，即x＝a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a²或4a²時，f（x）有最大值，即x＝a或2a時，y有最大值，且y_max＝a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴橢圓的標準方程為．                                      ………（3分）

當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，

當的斜率不為0時，設