Question

（12分）如圖，設是橢圓的左焦點，直線為對應的準線，直線 與軸交于點，為橢圓的長軸，已知，且．

（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：對于任意的割線，恒有；

（3）求三角形△ABF面積的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)     (Ⅱ)略   （Ⅲ）

解析:

（1）∵，∴， 又∵，∴，

∴，∴橢圓的標準方程為．---（4分）

（2）當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，

當的斜率不為0時，設方程為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．----------------------------6分

則

 ，

而

∴，從而．

綜合可知：對于任意的割線，恒有．………------------------（8分）

（3），

即：，

當且僅當，

即（此時適合于的條件）取到等號．

∴三角形△ABF面積的最大值是．……--（12分）