題目列表(包括答案和解析)
，
分別是橢圓
的左、右焦點，與直線
相切的
交橢圓于點
，恰好是直線
與的切點.到橢圓的右準線的距離為
，過橢圓的上頂點A的直線與交于B、C兩點，且
，求λ的取值范圍.設橢圓
的左、右頂點分別為
，點
在橢圓上且異于兩點，
為坐標原點.
（Ⅰ）若直線
與
的斜率之積為
，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若
，證明直線
的斜率
滿足
【解析】(1)解：設點P的坐標為
.由題意，有
①
由
，得
，
由
，可得
，代入①并整理得
由于
，故
.于是
，所以橢圓的離心率
（2）證明：（方法一）
依題意，直線OP的方程為
，設點P的坐標為.
由條件得
消去
并整理得
②
由
，
及
，
得
.
整理得
.而
，于是
，代入②，
整理得
由
，故
，因此
.
所以
.
(方法二)
依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.
由P在橢圓上，有
因為，
，所以
，即
③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.
設橢圓
的左、右焦點分別為
，
上頂點為
，在
軸負半軸上有一點
，滿足
，且
．
（Ⅰ）求橢圓
的離心率；
（Ⅱ）
是過
三點的圓上的點，到直線
的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點
作斜率為
的直線
與橢圓交于
兩點，線段
的中垂線與軸相交于點
，求實數
的取值范圍．
設橢圓
的左、右焦點分別為
，上頂點為
，離心率為
，
在
軸負半軸上有一點
，且
（1）若過
三點的圓 恰好與直線
相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點
作斜率為
的直線
與橢圓C交于
兩點，在軸上是否存在點
，使得以
為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出
的取值范圍；如果不存在，說明理由．
設橢圓
的左、右焦點分別為
，上頂點為
，離心率為
，在
軸負半軸上有一點
，且
（Ⅰ）若過
三點的圓恰好與直線
相切，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在(Ⅰ)的條件下，過右焦點
作斜率為
的直線
與橢圓C交于
兩點，在軸上是否存在點
，使得以
為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出
的取值范圍；如果不存在，說明理由．
考 生 填 寫 座 位
號 碼 的 末 兩 位
題 號
一
二
三
四
17
18
19
20
21
22
23
得 分
一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；每小題選出答案后，請用2B鉛筆把機讀卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
A
B
A
C
D
D
C
D
得分
評卷人
二．填空題(請把答案填在對應題號的橫線上)
13.
. 14．
.
15．
. 16. 
（或
） .
三.解答題（本大題共5小題，共64分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置.）
17.( 本題滿分12分)
解：（Ⅰ）由遞推關系
（2分）得，
（3分）；
；
（6分），
（Ⅱ）由
，即
（7分），所以
；.........12分（不單列
扣1分）
18．（本題滿分12分）
證明：（Ⅰ） 在三棱柱
中，
∵側棱垂直底面
，
∴ 四邊形
，
，
都是矩形，
又 ∵ 
，
，
，
∴ 
，又 ∵ 
為
中點，
在
中，
，同理，
．
∴ 
，∴ 
，.....4分
在
中，
，
在
中，
，
∴ 
，∴ 
．....6分
又 
，
∴ 
．..........8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴ 直線
與平面
所成的角為
．..........9分
在
中，
∴ 
，...............11分
即 直線
與平面
所成的角的余弦值為
．.......12分
解法二：（Ⅰ）以
為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設
，
，
，
（3分），則 
，
，
，
∴ 
，
∴
，∴
（5分），
∴ 
，
∴ 
，∴（7分）
又 
，∴ ．....8分
（Ⅱ）設向量
與
的夾角為
，
∵
，
∴
....10分
設直線與平面所成的角為
∵
平面
∴
∴直線與平面所成角的余弦值為.…………………………12分
19．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）每個提升站需要緊急維修的概率為
（2分），不需要緊急維修的概率為
（3分），設需要維修的提升站數為
，則
．
， （4分）
， （5分）
， （6分）
．（7分）
（Ⅱ）∵
，∴ 
的取值是
，則（元）的分布列是：
..................（9分）
∵
，∴
，又 ，
∴ 
．
（或
）
答：緊急維修費用的數學期望是750元．..........12分
20.（本題滿分14分）
解： (Ⅰ)設“封閉函數 ” 
的“封閉區間”為
，其中
．
在
上為減函數，故有：
，
解得：
，
，
∴ 
的“封閉區間”為
．.........4分
(Ⅱ)
，令
，得：
....6分
∴ 
在(
，0)上是增函數，在(2 ，+)上也是增函數；在(0 ，2)上是減函數．
顯然在上不是單調函數，故不是
上的“封閉函數 ”．...8分
(Ⅲ)假設存在實數
，使函數
是上的“封閉函數 ”且“封閉區間”是，則
(1) 函數在上是單調函數．
，若函數在上是增函數，則
對
恒成立，則：
；解得：
．...10分
(2) 由，知
，故函數在上是增函數，所以， 函數在區間 上是增函數，故有：
，∵，∴
，從而方程
至少有兩個不相等的實數根．
又方程有一根為，故：方程
至少有一個不為的根．
∴
，解得：
且
0..........13分
由(1)，(2)知：3．..........14分
21.（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵離心率
，且短半軸長，
∴ 
，∴
，
∴ 橢圓
的方程為
．.............5分
（Ⅱ）設
，則
，
，則
（6分），則直線
的方程為
，聯立
，得
（8分），
（或寫成：
（8分），
（或
，即 
（8分）
∵ 
，∴ 
）
解之：
，
（10分），
∴ 
（11分），
（或
，
（11分），）
又 ∵、
、
三點共線，∴ 
（12分），而 
，
∴ 
，..............13分
（或
（13分），解之：
......14分）
∵ 
，∴ 
，解之： .........14分．
四．選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時，請注明題號；若多做，則按首做題計入總分,滿分10分； 請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）
你選做_______題(請在橫線上注明題號)
解（或證明）：
22.證明：∵
是
的切線，直線
是的割線
∴ 
，（2分）
又 ∵ 
，∴ 
，∴
（5分），
∵ 
，
∴ △
與△
兩邊對應成比例，且夾角相等（7分），
∴ △∽△（8分）
∴ 
（10分）．
23.解:（Ⅰ）直線
的參數方程是
，即 
..5分
（Ⅱ）設
，則
，
∵
，
（7分），
∴ 
，即圓的極坐標方程為
．.........10分
24.解：由
得 
，∴不等式的解集為
（4分）
∵
∴當
≤1時，為空集，顯然成立，......6分
當＞1時，=
......8分
由
得 
或
或
，即，
這與＞1矛盾，
綜合上述得：≤1．.......10分
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