題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
，
.
（Ⅰ）若函數(shù)
依次在
處取到極值.求
的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數(shù)
，使對任意的
，不等式
恒成立.求正整數(shù)
的最大值.
【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。
第二問中，利用存在實數(shù)，使對任意的，不等式
恒成立轉(zhuǎn)化為
，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。
解：（1）
①
（2）不等式 ，即
，即
.
轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)
，使對任意的
，不等式恒成立.
即不等式
在上恒成立.
即不等式
在上恒成立.
設(shè)
，則.
設(shè)
，則
，因為，有
.
故
在區(qū)間上是減函數(shù)。又
故存在
，使得
.
當
時，有
，當
時，有
.
從而
在區(qū)間
上遞增，在區(qū)間
上遞減.
又
[來源:]
所以當
時，恒有
；當
時，恒有
；
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
已知函數(shù)
，
(1)設(shè)常數(shù)
，若
在區(qū)間
上是增函數(shù)，求
的取值范圍；
(2)設(shè)集合
，
，若
,求
的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的運用以及集合關(guān)系的運用。
第一問中利用
利用函數(shù)的單調(diào)性得到，參數(shù)的取值范圍。
第二問中，由于
解得參數(shù)m的取值范圍。
(1)由已知
又因為常數(shù)，若在區(qū)間上是增函數(shù)故參數(shù)
(2)因為集合，，若
已知函數(shù) f(x)＝
在[1，＋∞)上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。根據(jù)函數(shù)f(x)＝在[1，＋∞)上為減函數(shù)，可知導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間恒小于等于零，f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．然后利用φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，從而得到a≥e
f ′(x)＝
＝
，因為 f(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，故 f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．設(shè)φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e，
已知函數(shù)
．（
）
（1）若
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若在區(qū)間
上，函數(shù)的圖象恒在曲線
下方，求的取值范圍．
【解析】第一問中，首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)法得到
，進而得到范圍；第二問中，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于
在區(qū)間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上恒成立． …………3分
即，而當
時，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定義域為
．
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得極值點
，
，
當
，即
時，在（
，+∞)上有
，此時
在區(qū)間
上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有
，不合題意；
當
，即
時，同理可知，在區(qū)間上遞增，
有
，也不合題意；
…………11分
② 若
，則有
，此時在區(qū)間上恒有
，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足
，
由此求得的范圍是
． …………13分
綜合①②可知，當
時，函數(shù)的圖象恒在直線下方．
已知集合
A=
,
B=
.
（1）若
，求A∩B，
；
（2）若A
,求實數(shù)m的取值范圍。
【解析】第一問首先翻譯A,B為最簡集合，即為
A=
B=
然后利用當m=-1時，則有 B=
, 
第二問，因為A，
所以滿足A
得到結(jié)論。
解：因為A=
,
B=
當m=-1時，則有 B=
,
(2) 因為A，
所以滿足A
故
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