題目列表(包括答案和解析)
． (本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分)
已知公差大于零的等差數列
的前
項和為
，且滿足
，
，
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列
是等差數列，且
，求非零常數
；
（3）若（2）中的的前項和為
，求證：
．
的前
項和為
，且滿足
，
，的通項公式；
是等差數列，且
，求非零常數
；的前項和為
，求證：
．（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）
設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2，且△AB1B2是面積為
的直角三角形．過Ｂ1作直線l交橢圓于P、Q兩點．
(1) 求該橢圓的標準方程；
(2) 若
，求直線l的方程；
(3) 設直線l與圓O：x2+y2=8相交于M、N兩點，令|MN|的長度為t，若t∈
，求△B2PQ的面積
的取值范圍．
（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）
設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2，且△AB1B2是面積為
的直角三角形．過Ｂ1作直線l交橢圓于P、Q兩點．
(1) 求該橢圓的標準方程；
(2) 若
，求直線l的方程；
(3) 設直線l與圓O：x2+y2=8相交于M、N兩點，令|MN|的長度為t，若t∈
，求△B2PQ的面積
的取值范圍．
（本題滿分16分，第1小題 4分，第2小題4分，第3小題8分）
已知函數
在點
處的切線方程為
．
⑴求函數
的解析式；
⑵若對于區間
上任意兩個自變量的值
都有
，求實數
的最小值；
⑶若過點
可作曲線
的三條切線，求實數
的取值范圍．
一、填空題（本大題滿分48分,每小題4分）
（1）3 （2）（5,0） （3）{1,2,5} （4）2 （5）（－2,0）∪（2,5]
（6）（5,4） （7）6 （8）（x－2）2+（y+3）2=5 （9）
（10）a>0且b≤0
（11）用代數的方法研究圖形的幾何性質 （12）①、④
二、選擇題（本大題滿分16分,每小題4分）
（13）B （14）C （15）A （16）B
三、解答題（本大題滿分86分）
（17）【解】由題意得 z1=
=2+3i,
于是
=
=
,
=
.
<,得a2－8a+7<0,1<a<7.
（18）【解】由題意得xy+
x2=8, ∴y=
=
（0<x<4
）.
于定, 框架用料長度為
l=2x+2y+2（
）=（
+）x+
≥4
.
當（+）x=,即x=8－4時等號成立.
此時, x≈2.343,y=2≈2.828. 故當x為2.343m,y為2.828m時, 用料最省.
（19）【解】（1）2－
≥0, 得
≥0, x<－1或x≥1
即A=（－∞,－1）∪[1,+ ∞）
（2）
由（x－a－1）（
∵a<1,∴a+1>
∵B
A, ∴2 a≥1或a +1≤－1, 即a≥
或a≤－2, 而a <1,
∴≤a <1或a≤－2, 故當BA時, 實數a的取值范圍是 （－∞,－2）∪[,1]
（20）【解】（1） 解方程 y=x 得 x1=－4, x2=8
y=
x2－4 y1=－2, y2=4
即A（－4,－2）,B（8,4）, 從而AB的中點為M（2,1）.
由kAB==,直線AB的垂直平分線方程y－1=（x－2）.
令y=－5, 得x=5, ∴Q（5,－5）
（2）
直線OQ的方程為x+y=0, 設P（x, x2－4）.
∵點P到直線OQ的距離d=
=
,
,∴SΔOPQ=
=
.
∵P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上,
∴－4≤x<4
－4或4－4<x≤8. ∵函數y=x2+8x－32在區間[－4,8] 上單調遞增,
∴當x=8時, ΔOPQ的面積取到最大值30.
（21）【證明】（1） ∵棱臺DEF―ABC與棱錐P―ABC的棱長和相等,
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P―ABC是正四面體.
【解】（2）取BC的中點M,連拉PM,DM.AM.
∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,
則∠DMA為二面角D―BC―A的平面角. 由（1）知,P―ABC的各棱長均為1,
∴PM=AM=
,由D是PA的中點, 得sin∠DMA=
,∴∠DMA=arcsin
.
（3）存在滿足條件的直平行六面體. 棱臺DEF―ABC的棱長和為定值6,體積為V.
設直平行六面體的棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為α,
則該六面體棱長和為6, 體積為sinα=V.
∵正四面體P―ABC的體積是
,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim（8V）
故構造棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為arcsim（8V）的直平行六面體即滿足要求.
（22）【解】（1） a1=
2=9,由S3=（a1+a3）=162,得a3=
3=99.
由
－y2=1
,得
x
=90
x+y=99
y=9
∴點P3的坐標可以為（3
,3）.
（2）對每個自然數k,1≤k≤n,由題意
2=（k－1）d,及
y
=2pxk
,得x+2pxk=（k－1）d
x+y=（k－1）d
即（xk+p）2=p2+（k－1）d,
∴（x1+p）2, （x2+p）2, …,（xn+p）2是首項為p2,公差為d的等差數列.
（3）
【解法一】原點O到二次曲線C:
（a>b>0）上各點的最小距離為b,最大距離為a.
∵a1=2=a2, ∴d<0,且an=
2=a2+（n－1）d≥b2,
∴
≤d<0. ∵n≥3,
>0
∴Sn=na2+d在[
,0）上遞增,
故Sn的最小值為na2+
?
=
.
【解法二】對每個自然數k（2≤k≤n）,
由
x+y=a2+（k－1）d
,解得y=
+
=1
∵0< y≤b2,得
≤d<0 ∴
≤d<0
以下與解法一相同.
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