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2002年8月，在北京召開了國際數學家大會，大會會標為右圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的一個小正方形拼成一個大正方形，若直角三角形中較大的銳角為，大正方形的面積為1，小正方形的面積為，則sin²－cos²的值等于

[　　]

A．1

B．

C．－

D．

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2002年8月，在北京召開了國際數學家大會，大會會標為圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的一個小正方形拼成一個大正方形，若直角三角形中較大的銳角為，大正方形的面積為1，小正方形的面積為，則sin²－cos²的值等于

[　　]

A．1

B．

C．

D．－

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2002年8月，在北京召開了國際數學家大會，大會會標為下圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的一個小正方形拼成一個大正方形，若直角三角形有較大的銳角為，大正方形ABCD的面積為1，小正方形EFGH的面積為，則的值等于

[　　]

A．

B．

C．

D．

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2002年8月在北京召開了國際數學家大會，會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形面積是1，小正方形面積是，則sin²θ-cos²θ的值是

A.1                  B.               C.              D.-

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2002年8月在北京召開了國際數學家大會，會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形面積是1，小正方形面積是，則sin²θ-cos²θ的值是

A.1                  B.               C.              D.-

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一、選擇題：1~12(5×12=60)

題號

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

答案

B

A

B

C

D

B

D

C

B

C

C

D

二、填空題：13、B；14、-；15、3²⁰⁰⁵；16、(2-2，2)。

三、解答題：

17.解：(1)根據已知條件得：△=16sin2θ-4atanθ=0

              即：a=2sin2θ                                                                2分

              又由已知：

              得                                                                              4分

              所以有0<sin2θ<1

              所以a∈(0，2)                                                                            6分

         (2)當a=時由(1)得2sin2θ=                                                     8分

              所以sinθ=，而sin2θ=-cos(+2θ)

                                                 =-2cos2()+1=                               10分

              所以cos²()=,又

              所以cos()=-                                                                 12分

18.解：(1)f′(x)=6x²-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)                                              3分

              ∵函數f(x)在x=3處取得極值

              ∴x=3時，f′(x)=0

∴a=3                                                                                         5分

          (2)f′(x)=6(x-1)(x-a)

              i)當a=1時，f′(x)≥0恒成立

               函數f(x)在(-∞，+∞)上單調增                                                  7分

              ii)當a<1時，由f′(x)>0得x<1或x>a

                ∴單調增區間為(-∞，1)，(a,+∞)                                           9分

              iii)當a>1時，由f′(x)>0得x<1或x>a

                ∴單調增區間為(-∞，1)，(a,+∞)                                           11分

                綜上：當a=1時，函數f(x)的增區間為(-∞，+∞)

                當a<1時，函數f(x)的增區間為

                (-∞，1)，(1，+∞)

                當a>1時，函數f(x)的增區間為

                (-∞，1)，(a，+∞)                                                                 12分

19.(九A解法)解：(1)取AC、CC₁中點分別為M、N，連接MN、NB₁、MB₁，

              ∵AC₁∥MN，NB₁∥CE

              ∴∠MNB₁是CE與AC₁成角的補角                                            2分

              Rt△NB₁C₁中，NB₁=

              Rt△MNC中，MN=6

              Rt△MBB₁中，MB₁=

              ∴cos∠MNB₁=-

              ∴CE與AC₁的夾角為arccos                                                4分

         (2)過D作DP∥AC交BC于P，則A₁D在面BCC₁B₁上的射影為C₁P，而CE⊥A₁D，由三垂線定理的逆定理可得CE⊥C₁P，又BCC₁B為正方形

              ∴P為BC中點，D為AB中點，                                                6分

              ∴CD⊥AB，CD⊥AA₁

              ∴CD⊥面ABB₁A₁                                                                       8分

         (3)由(2)CD⊥面A₁DE

              ∴過D作DF⊥A₁E于F，連接CF

              由三垂線定理可知CF⊥A₁E

              ∴∠CFD為二面角C-A₁E-D的平面角                                         10分

              又∵A₁D=

              ∴A₁D²+DE²=A₁E²=324

              ∴∠A₁DE=90°

              ∴DF=6，又CD=6

              ∴tan∠CFD=1

              ∴∠CFD=45°

∴二面角C-A₁E-D的大小為45°                                                12分

       (此題也可通過建立空間直角坐標系，運用向量的方法求解)

20.解：由已知得：

              不等式x2+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              即：p(x-1)+x²-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              令f(p)=p(x-1)+x²-4x+3

              則有函數f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。                               4分

          (1)顯然當x=1時不恒成立

          (2)當x≠1時，有即x>3或x<-1                             10分

              所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)為所求                                                   12分

21.解：(1)經觀察得第一行有2⁰個數，第二行有2¹個數，第三行有2²個數，第四行有2³個數------

              因此前n行有2⁰+2¹+2²+2³+---+2^n-1=個數

              所以，第n行的最后一個數是2ⁿ-1                                              4分

          (2)由(1)知，前n-1行菜有2^n-1-1個數，因此，第n行的第一個數為2n-1,第n行的最后一個是2n-1,它們構成公差為1的等差數列。

              因此，由等差數列前n項和公式有：

                              8分

          (3)因為2¹⁰=1024

                       2¹¹=2048

                       2¹⁰<2008<2¹¹

               所以2008位于第11行

              該行第一個數是2¹⁰=1024，由2008-1024+1=985

              所以2008是第11和的985個數 。                                              12分

22.解：(1)由已知可設F(c，0)，Q(x₁,y₁)

         則

         ∵

         ∴c(x₁-c)=1

         ∴x₁=                                                                                    2分

       又直線FQ的方程為：y=tanθ(x-c)

       ∴y₁=

       而S=

              =

              =tanθ                                                                                     4分

       又已知<S<2

       ∴      tanθ<4

       又θ為銳角

       ∴<arctan4                                                                                7分