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（1）若橢圓的方程是：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的左、右焦點依次為F₁、F₂，P是橢圓上異于長軸端點的任意一點．在此條件下我們可以提出這樣一個問題：“設△PF₁F₂的過P角的外角平分線為l，自焦點F₂引l的垂線，垂足為Q，試求Q點的軌跡方程？”
對該問題某同學給出了一個正確的求解，但部分解答過程因作業本受潮模糊了，我們在

這些模糊地方劃了線，請你將它補充完整．
解：延長F₂Q 交F₁P的延長線于E，據題意，
E與F₂關于l對稱，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=

 

，
在△EF₁F₂中，顯然OQ是平行于EF₁的中位線，
所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=

 

，
注意到P是橢圓上異于長軸端點的點，所以Q點的軌跡是

 

，
其方程是：

 

．
（2）如圖2，雙曲線的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦點依次為F₁、F₂，P是雙曲線上異于實軸端點的任意一點．請你試著提出與（1）類似的問題，并加以證明．

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給出以下判斷：
（1）b=0是函數f（x）=ax²+bx+c為偶函數的充要條件；
（2）橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，以點（1，1）為中點的弦所在直線方程為x+2y-3=0；
（3）回歸直線

y

=

b

x+

a

必過點(

.

x

，

.

y

)；
（4）如圖，在四面體ABCD中，設E為△BCD的重心，則

AE

=

AB

+

1

2

AC

+

2

3

AD

；
（5）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1( a＞0 ， b＞0 )的兩焦點為F₁，F₂，P為右支是異于右頂點的任一點，△PF₁F₂的內切圓圓心為T，則點T的橫坐標為a．其中正確命題的序號是

 

．

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給出以下判斷：
（1）b=0是函數f（x）=ax²+bx+c為偶函數的充要條件；
（2）橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，以點（1，1）為中點的弦所在直線方程為x+2y-3=0；
（3）回歸直線

y

=

b

x+

a

必過點(

.

x

，

.

y

)；
（4）如圖，在四面體ABCD中，設E為△BCD的重心，則

AE

=

AB

+

1

2

AC

+

2

3

AD

；
（5）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩焦點為F₁，F₂，P為右支是異于右頂點的任一點，△PF₁F₂的內切圓圓心為T，則點T的橫坐標為a．其中正確命題的序號是______．

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一、填空題（本大題滿分48分，每小題4分，共12小題）

1．；   2．；   3．；   4．；   5．；

6．；   7．；   8．；   9．； 10．；

11．；   12．.

二、選擇題（本大題滿分16分，每小題4分，共4小題）

13．C；   14．A；   15．B；   16．C；

三、解答題（本大題滿分86分，本大題共有6題）

17．（1）；

（2）；

18．1號至4號正四棱柱形容器是體積依次為。

∵  ，，

∴  存在必勝方案，即選擇3號和4號容器。

19．（1）∵  由正弦定理，，∴ ，。

      ∵  ， ∴  ，即。∴  。

 （2）∵  ，

∴  。

20．（1）設放水分鐘內水箱中的水量為升

依題意得；

分鐘時，水箱的水量升, 放水后分鐘水箱內水量接近最少；

（2）該淋浴器一次有個人連續洗浴， 于是，，

所以，一次可最多連續供7人洗浴。

21．（1）由及，∴時成等比數列。

（2）因，由（1）知，，故。

（3）設存在，使得成等差數列，則，

即因，所以，

∴不存在中的連續三項使得它們可以構成等差數列。

22．(1)解：設為函數圖像的一個對稱點，則對于恒成立.即對于恒成立，

由，故圖像的一個對稱點為.

（2）解：假設是函數(的圖像的一個對稱點，

則(對于恒成立，

即對于恒成立，因為，所以不

恒成立，

即函數(的圖像無對稱點.