題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是A1B1、CC1的中點，過D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G。 （1）求證：EG//D1F； （2）求銳二面角C1—D1E—F的余弦值。
（本小題滿分12分）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，
AB=
，AF=1，M是線段EF的中點。
(Ⅰ)求證：AM∥平面BDE；
(Ⅱ) 求二面角A－DF－B的大小.
（Ⅲ）試問：在線段AC上是否存在一點P，使得直線PF與AD所成角為60°？
（本小題滿分12分）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，
AB=
，AF=1，M是線段EF的中點。
(Ⅰ)求證：AM∥平面BDE；
(Ⅱ) 求二面角A－DF－B的大小.
（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱
的各棱長都是4， 
是
的中點，動點
在側棱
上，且不與點
重合．
（I）當
時，求證：
；
（II）設二面角
的大小為
，求
的最小值．
（本小題滿分12分）
如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長是2，D是CC1的中點，直線AD與側面BB1C1C所成的角是45°．
（I）求二面角A—BD—C的大小；
（II）求點C到平面ABD的距離．
一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算。每小題5分，滿分50分。
1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10．A
二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算。每小題5分，滿分25分。
11． 12．0.94 13．（0，） 14．78
15．．球的體積函數的導數等于球的表面積函數。
三、解答題
16．本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的基本知識，以及運用三角函數的圖像和性質的能力。
解：（Ⅰ）∵
∴的最大值為，最小正周期是。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
即成立的的取值集合是.
17．本小題主要考查分層抽樣的概念和運算，以及運用統計知識解決實際問題的能力。
解：（Ⅰ）設登山組人數為，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c，則有，解得b=50%,c=10%.
故a=100%－50%－10%=40%,即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40％、
50％、10％。
（Ⅱ）游泳組中，抽取的青年人數為（人）；抽取的中年人數為
50％＝75（人）；抽取的老年人數為10％＝15（人）。
18．本小題主要考查線面關系、二面角和點到平面距離的有關知識及空間想象能力和推理運算能力。考查應用向量知識解決數學問題的能力。
解法1：（Ⅰ）因為M是底面BC邊上的中點，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，從而AMM, AMNM，所以MN為二面角，―AM―N的平面角。又M=,MN=,
連N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
（Ⅱ）過在面內作直線，為垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即為到平面AMN的距離。在中，H＝M。故點到平面AMN的距離為1。
解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則（0，0，1），M（0，，0）,
C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，
，,。
因為
所以,同法可得。
故??為二面角―AM―N的平面角
∴??＝
故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
（Ⅱ）設n=(x,y,z)為平面AMN的一個法向量，則由得
故可取
設與n的夾角為a，則。
所以到平面AMN的距離為。
19.本小題主要考查層數的概念和計算，考查應用導數研究函數性質的方法及推理和運算能力。
解：依題意有而
故 解得 從而
。
令，得或。
由于在處取得極值，故，即。
（1） 若，即，則當時，；
當時，；當時，；
從而的單調增區間為；單調減區間為
（2） 若，即，同上可得，
的單調增區間為；單調減區間為
20.本小題主要是考查等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力。
解：（I）依題意得，即。
當n≥2時，a;
當n=1時，×-2×1-1-6×1-5
所以。
（II）由（I）得，
故=。
因此，使得?成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數m為10。
21．本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。
解：（I）依題意得解得 從而b=,
故橢圓方程為。
（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0）。設。
點在橢圓上，。
又點異于頂點
曲三點共線可得.
從面
.
將①式代入②式化簡得
>0,>0.于是為銳角,從而為鈍角,故點在以為直徑的圓內.
解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設P（4，）（0），M（，），N（，），則直線AP的方程為，直線BP的方程為。
點M、N分別在直線AP、BP上，
＝（＋2），＝（－2）.從而＝（＋2）（－2）.③
聯立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0.
，－2是方程得兩根，（－2）．，即＝. ④
又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋. ⑤
于是由③、④式代入⑤式化簡可得
．＝（－2）.
N點在橢圓上，且異于頂點A、B，<0.
又，> 0, 從而．<0.
故為鈍角，即點B在以MN為直徑的圓內.
解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（，），N（，），則－2<<2 , －2<<2.又MN的中點Q的坐標為（），
化簡得－＝（－2）（－2）＋. ⑥
直線AP的方程為，直線BP的方程為.
點P在準線x＝4上，
，即. ⑦
又M點在橢圓上，＋＝1，即 ⑧
于是將⑦、⑧式化簡可得－＝.
從而B在以MN為直徑的圓內.
2006年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）
數學（文史類）（編輯：寧岡中學張建華）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共4頁。全卷共150分。考試用時120分鐘。
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分散。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、集合P＝｛x|x2－16<0｝,Q＝｛x|x＝2n，nZ｝,則PQ＝（C）
A.｛-2,2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛－2，0，2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝
解：P＝｛x|x2－16<0｝＝｛x|－4<x<4｝，故PQ＝｛－2，0，2｝，故選C
2、已知非零向量a、b，若a＋2b與a－2b互相垂直，則（D）
A. B. 4 C. D. 2
解：由a＋2b與a－2b互相垂直Þ（a＋2b）?（a－2b）＝0Þa2－4b2＝0
即|a|2＝4|b|2Þ|a|＝2|b|，故選D
3、已知，A∈（0，），則（A）
A. B． C． D．
解：由sin2A＝2sinAcosA＝>0，又A∈（0，）所以AÎ（0，），所以sinA＋cosA>0
又（sinA＋cosA）2＝1＋2sinAcosA＝故選A
4、在等比數列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，則a2a3a4a5a6a7a8a9＝（ A ）
A. 81 B. 27 C. D. 243
解：因為數列｛an｝是等比數列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝
（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故選A
5、甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對立事件，那么（B）
A. 甲是乙的充分但不必要條件 B. 甲是乙的必要但不充分條件
C. 甲是乙的充要條件 D. 甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
解：兩個事件是對立事件，則它們一定互斥，反之不成立。故選 B
6、關于直線m、n與平面與，有下列四個命題：（D）
①若且，則；
②若且，則；
③若且，則；
④若且，則；
其中真命題的序號是
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
解：用排除法可得選D
7、設f(x)＝，則的定義域為
A. B.(－4,－1)(1，4) C. (－2,－1)(1，2) D. (－4,－2)(2，4)
解：f（x）的定義域是（－2，2），故應有－2<<2且－2<<2解得－4<x<－1或1<x<4
故選B
8、在的展開式中，x的冪的指數是整數的有（C）
A. 3項 B. 4項 C. 5項 D. 6項
解：，當r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24時，x的指數分別是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均為2的整數次冪，故選C
9、設過點P（x，y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，則點P的軌跡方程是（ D ）
A. B.
C. D.
解：設P（x，y），則Q（－x，y），又設A（a，0），B（0，b），則a>0，b>0，于是，由可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0又＝（－a，b）＝（－x，3y），由＝1可得
故選D
10、關于x的方程，給出下列四個命題：
①存在實數，使得方程恰有2個不同的實根；
②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數，使得方程恰有8個不同的實根；
其中假命題的個數是（ A ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：關于x的方程可化為…………（1）
或（－1<x<1）…………（2）
① 當k＝－2時，方程（1）的解為±，方程（2）無解，原方程恰有2個不同的實根
② 當k＝時，方程（1）有兩個不同的實根±，方程（2）有兩個不同的實根±，即原方程恰有4個不同的實根
③ 當k＝0時，方程（1）的解為－1，＋1，±，方程（2）的解為x＝0，原方程恰有5個不同的實根
④ 當k＝時，方程（1）的解為±，±，方程（2）的解為±，±，即原方程恰有8個不同的實根
選A
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
注意事項：
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應位置上。
11、在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，則sinB＝.
解：由正弦定理易得結論。
12．接種某疫苗后，出現發熱反應的概率為0．80，現有5人接種了該疫苗，至少有3人出現發熱反應的概率為精確到0．01）
解：P＝＝0.94
13、若直線y＝kx＋2與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1有兩個不同的交點，則k 的取值范圍是.
解：由直線y＝kx＋2與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1有兩個不同的交點可得直線與圓的位置關系是相交，故圓心到直線的距離小于圓的半徑，即<1，解得kÎ(0，)
14、安排5名歌手的演出順序時，要求某名歌手不第一個出場，另一名歌手不最后一個出場，不同排法的總數是.(用數字作答)
解：分兩種情況：（1）不最后一個出場的歌手第一個出場，有種排法
（2）不最后一個出場的歌手不第一個出場，有種排法
故共有78種不同排法
15、半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r 1，
1式可以用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數。
對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于1的式子：2
2式可以用語言敘述為：。
解：V球＝，又 故2式可填，用語言敘述為“球的體積函數的導數等于球的表面積函數。”
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16、（本小題滿分12分）
設向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函數f(x)＝a?(a＋b).
（Ⅰ）求函數f(x)的最大值與最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。
解：（Ⅰ）∵
∴的最大值為，最小正周期是。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
即成立的的取值集合是.
17、（本小題滿分12分）
某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組。在參加活動的職工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山組的職工占參加活動總人數的，且該組中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。為了了解各組不同的年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本。試確定
（Ⅰ）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；
（Ⅱ）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應抽取的人數。
解：（Ⅰ）設登山組人數為，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c，則有，解得b=50%,c=10%.
故a=100%－50%－10%=40%,即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40％、
50％、10％。
（Ⅱ）游泳組中，抽取的青年人數為（人）；抽取的中年人數為
50％＝75（人）；抽取的老年人數為10％＝15（人）。
18、（本小題滿分12分）
如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點，N是側棱CC1上的點，且CN＝2C1N.
（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求點B1到平面AMN的距離。
解法1：（Ⅰ）因為M是底面BC邊上的中點，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，從而AMM, AMNM，所以MN為二面角，―AM―N的平面角。又M=,MN=,
連N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
（Ⅱ）過在面內作直線，為垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即為到平面AMN的距離。在中，H＝M。故點到平面AMN的距離為1。
解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則（0，0，1），M（0，，0）,
C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，
，,。
因為
所以,同法可得。
故??為二面角―AM―N的平面角
∴??＝
故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
（Ⅱ）設n=(x,y,z)為平面AMN的一個法向量，則由得
故可取
設與n的夾角為a，則。
所以到平面AMN的距離為。
19、（本小題滿分12分）
設函數f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1處取得極值－2，試用c表示a和b，并求f(x)的單調區間。
解：依題意有而
故 解得 從而
。
令，得或。
由于在處取得極值，故，即。
（3） 若，即，則當時，；
當時，；當時，；
從而的單調增區間為；單調減區間為
（4） 若，即，同上可得，
的單調增區間為；單調減區間為
20、（本小題13分）
設數列的前n項和為，點均在函數y＝3x－2的圖像上。
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m。
解：（I）依題意得，即。
當n≥2時，a;
當n=1時，×-2×1-1-6×1-5
所以。
（II）由（I）得，
故=。
因此，使得?成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數m為10。
21、（本小題滿分13分）
設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。
（Ⅰ）、求橢圓的方程；
（Ⅱ）、設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內。