題目列表(包括答案和解析)
直三棱柱ABC—A1B1C1各頂點(diǎn)在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC
＝120°則球的表面積為___________.
半徑為r的圓的面積S(r)＝
r2,周長(zhǎng)C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r ①，①式可以用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，類比以上結(jié)論，請(qǐng)你寫出類似于①的式子： ②，②式可以用語(yǔ)言敘述為： 。
直三棱柱ABC—A1B1C1各頂點(diǎn)在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°則球的表面積為___________.
（06年湖北卷文）半徑為r的圓的面積S(r)＝
r2,周長(zhǎng)C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r ，
（1）式可以用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。
對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于（1）的式子： 。
（2）式可以用語(yǔ)言敘述為： 。
半徑為r的圓的面積S＝
r2,周長(zhǎng)C=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則
①，①式可以用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于①的式子：
②，
②式可以用語(yǔ)言敘述為： 。
一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分50分。
1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10．A
二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分25分。
11． 12．0.94 13．（0，） 14．78
15．．球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。
三、解答題
16．本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的基本知識(shí)，以及運(yùn)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的能力。
解：（Ⅰ）∵
∴的最大值為，最小正周期是。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
即成立的的取值集合是.
17．本小題主要考查分層抽樣的概念和運(yùn)算，以及運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。
解：（Ⅰ）設(shè)登山組人數(shù)為，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c，則有，解得b=50%,c=10%.
故a=100%－50%－10%=40%,即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40％、
50％、10％。
（Ⅱ）游泳組中，抽取的青年人數(shù)為（人）；抽取的中年人數(shù)為
50％＝75（人）；抽取的老年人數(shù)為10％＝15（人）。
18．本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和點(diǎn)到平面距離的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能力。考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。
解法1：（Ⅰ）因?yàn)镸是底面BC邊上的中點(diǎn)，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，從而AMM, AMNM，所以MN為二面角，―AM―N的平面角。又M=,MN=,
連N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
（Ⅱ）過在面內(nèi)作直線，為垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即為到平面AMN的距離。在中，H＝M。故點(diǎn)到平面AMN的距離為1。
解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（0，0，1），M（0，，0）,
C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，
，,。
因?yàn)?/p>
所以,同法可得。
故??為二面角―AM―N的平面角
∴??＝
故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
（Ⅱ）設(shè)n=(x,y,z)為平面AMN的一個(gè)法向量，則由得
故可取
設(shè)與n的夾角為a，則。
所以到平面AMN的距離為。
19.本小題主要考查層數(shù)的概念和計(jì)算，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力。
解：依題意有而
故 解得 從而
。
令，得或。
由于在處取得極值，故，即。
（1） 若，即，則當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
從而的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為
（2） 若，即，同上可得，
的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為
20.本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力。
解：（I）依題意得，即。
當(dāng)n≥2時(shí)，a;
當(dāng)n=1時(shí)，×-2×1-1-6×1-5
所以。
（II）由（I）得，
故=。
因此，使得?成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數(shù)m為10。
21．本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力。
解：（I）依題意得解得 從而b=,
故橢圓方程為。
（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0）。設(shè)。
點(diǎn)在橢圓上，。
又點(diǎn)異于頂點(diǎn)
曲三點(diǎn)共線可得.
從面
.
將①式代入②式化簡(jiǎn)得
>0,>0.于是為銳角,從而為鈍角,故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).
解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)P（4，）（0），M（，），N（，），則直線AP的方程為，直線BP的方程為。
點(diǎn)M、N分別在直線AP、BP上，
＝（＋2），＝（－2）.從而＝（＋2）（－2）.③
聯(lián)立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0.
，－2是方程得兩根，（－2）．，即＝. ④
又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋. ⑤
于是由③、④式代入⑤式化簡(jiǎn)可得
．＝（－2）.
N點(diǎn)在橢圓上，且異于頂點(diǎn)A、B，<0.
又，> 0, 從而．<0.
故為鈍角，即點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).
解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（，），N（，），則－2<<2 , －2<<2.又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），
化簡(jiǎn)得－＝（－2）（－2）＋. ⑥
直線AP的方程為，直線BP的方程為.
點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，
，即. ⑦
又M點(diǎn)在橢圓上，＋＝1，即 ⑧
于是將⑦、⑧式化簡(jiǎn)可得－＝.
從而B在以MN為直徑的圓內(nèi).
2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）
數(shù)學(xué)（文史類）（編輯：寧岡中學(xué)張建華）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè)，共4頁(yè)。全卷共150分。考試用時(shí)120分鐘。
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分散。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、集合P＝｛x|x2－16<0｝,Q＝｛x|x＝2n，nZ｝,則PQ＝（C）
A.｛-2,2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛－2，0，2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝
解：P＝｛x|x2－16<0｝＝｛x|－4<x<4｝，故PQ＝｛－2，0，2｝，故選C
2、已知非零向量a、b，若a＋2b與a－2b互相垂直，則（D）
A. B. 4 C. D. 2
解：由a＋2b與a－2b互相垂直Þ（a＋2b）?（a－2b）＝0Þa2－4b2＝0
即|a|2＝4|b|2Þ|a|＝2|b|，故選D
3、已知，A∈（0，），則（A）
A. B． C． D．
解：由sin2A＝2sinAcosA＝>0，又A∈（0，）所以AÎ（0，），所以sinA＋cosA>0
又（sinA＋cosA）2＝1＋2sinAcosA＝故選A
4、在等比數(shù)列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，則a2a3a4a5a6a7a8a9＝（ A ）
A. 81 B. 27 C. D. 243
解：因?yàn)閿?shù)列｛an｝是等比數(shù)列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝
（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故選A
5、甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對(duì)立事件，那么（B）
A. 甲是乙的充分但不必要條件 B. 甲是乙的必要但不充分條件
C. 甲是乙的充要條件 D. 甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
解：兩個(gè)事件是對(duì)立事件，則它們一定互斥，反之不成立。故選 B
6、關(guān)于直線m、n與平面與，有下列四個(gè)命題：（D）
①若且，則；
②若且，則；
③若且，則；
④若且，則；
其中真命題的序號(hào)是
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
解：用排除法可得選D
7、設(shè)f(x)＝，則的定義域?yàn)?/p>
A. B.(－4,－1)(1，4) C. (－2,－1)(1，2) D. (－4,－2)(2，4)
解：f（x）的定義域是（－2，2），故應(yīng)有－2<<2且－2<<2解得－4<x<－1或1<x<4
故選B
8、在的展開式中，x的冪的指數(shù)是整數(shù)的有（C）
A. 3項(xiàng) B. 4項(xiàng) C. 5項(xiàng) D. 6項(xiàng)
解：，當(dāng)r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24時(shí)，x的指數(shù)分別是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均為2的整數(shù)次冪，故選C
9、設(shè)過點(diǎn)P（x，y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程是（ D ）
A. B.
C. D.
解：設(shè)P（x，y），則Q（－x，y），又設(shè)A（a，0），B（0，b），則a>0，b>0，于是，由可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0又＝（－a，b）＝（－x，3y），由＝1可得
故選D
10、關(guān)于x的方程，給出下列四個(gè)命題：
①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；
其中假命題的個(gè)數(shù)是（ A ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：關(guān)于x的方程可化為…………（1）
或（－1<x<1）…………（2）
① 當(dāng)k＝－2時(shí)，方程（1）的解為±，方程（2）無解，原方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根
② 當(dāng)k＝時(shí)，方程（1）有兩個(gè)不同的實(shí)根±，方程（2）有兩個(gè)不同的實(shí)根±，即原方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根
③ 當(dāng)k＝0時(shí)，方程（1）的解為－1，＋1，±，方程（2）的解為x＝0，原方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根
④ 當(dāng)k＝時(shí)，方程（1）的解為±，±，方程（2）的解為±，±，即原方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根
選A
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
注意事項(xiàng)：
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應(yīng)位置上。
11、在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，則sinB＝.
解：由正弦定理易得結(jié)論。
12．接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0．80，現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為精確到0．01）
解：P＝＝0.94
13、若直線y＝kx＋2與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k 的取值范圍是.
解：由直線y＝kx＋2與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得直線與圓的位置關(guān)系是相交，故圓心到直線的距離小于圓的半徑，即<1，解得kÎ(0，)
14、安排5名歌手的演出順序時(shí)，要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng)，不同排法的總數(shù)是.(用數(shù)字作答)
解：分兩種情況：（1）不最后一個(gè)出場(chǎng)的歌手第一個(gè)出場(chǎng)，有種排法
（2）不最后一個(gè)出場(chǎng)的歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，有種排法
故共有78種不同排法
15、半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長(zhǎng)C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r 1，
1式可以用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。
對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于1的式子：2
2式可以用語(yǔ)言敘述為：。
解：V球＝，又 故2式可填，用語(yǔ)言敘述為“球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。”
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16、（本小題滿分12分）
設(shè)向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函數(shù)f(x)＝a?(a＋b).
（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最大值與最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。
解：（Ⅰ）∵
∴的最大值為，最小正周期是。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
即成立的的取值集合是.
17、（本小題滿分12分）
某單位最近組織了一次健身活動(dòng)，活動(dòng)分為登山組和游泳組，且每個(gè)職工至多參加了其中一組。在參加活動(dòng)的職工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山組的職工占參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的，且該組中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。為了了解各組不同的年齡層次的職工對(duì)本次活動(dòng)的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動(dòng)的全體職工中抽取一個(gè)容量為200的樣本。試確定
（Ⅰ）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；
（Ⅱ）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)。
解：（Ⅰ）設(shè)登山組人數(shù)為，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c，則有，解得b=50%,c=10%.
故a=100%－50%－10%=40%,即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40％、
50％、10％。
（Ⅱ）游泳組中，抽取的青年人數(shù)為（人）；抽取的中年人數(shù)為
50％＝75（人）；抽取的老年人數(shù)為10％＝15（人）。
18、（本小題滿分12分）
如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN＝2C1N.
（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求點(diǎn)B1到平面AMN的距離。
解法1：（Ⅰ）因?yàn)镸是底面BC邊上的中點(diǎn)，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，從而AMM, AMNM，所以MN為二面角，―AM―N的平面角。又M=,MN=,
連N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
（Ⅱ）過在面內(nèi)作直線，為垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即為到平面AMN的距離。在中，H＝M。故點(diǎn)到平面AMN的距離為1。
解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（0，0，1），M（0，，0）,
C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，
，,。
因?yàn)?/p>
所以,同法可得。
故??為二面角―AM―N的平面角
∴??＝
故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。
（Ⅱ）設(shè)n=(x,y,z)為平面AMN的一個(gè)法向量，則由得
故可取
設(shè)與n的夾角為a，則。
所以到平面AMN的距離為。
19、（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1處取得極值－2，試用c表示a和b，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間。
解：依題意有而
故 解得 從而
。
令，得或。
由于在處取得極值，故，即。
（3） 若，即，則當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
從而的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為
（4） 若，即，同上可得，
的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為
20、（本小題13分）
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)y＝3x－2的圖像上。
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m。
解：（I）依題意得，即。
當(dāng)n≥2時(shí)，a;
當(dāng)n=1時(shí)，×-2×1-1-6×1-5
所以。
（II）由（I）得，
故=。
因此，使得?成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數(shù)m為10。
21、（本小題滿分13分）
設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。
（Ⅰ）、求橢圓的方程；
（Ⅱ）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。