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1．已知集合，則是的（）

A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件

C 充要條件 D 既不充分也不必要條件

2．下列函數中周期為1的奇函數是（）

A B

C D

3．下列不等式中恒成立的個數有（）

① ②

③ ④

A 4 B 3 C 2 D 1

4．25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選出方法種數為（）

A 600 B 300 C 100 D 60

5．已知的前n項和（）

A 67 B 65 C 6l D 56

6．對于平面直角坐標系內任意兩點（，）、（，），定義它們之間的一種“距離”：‖‖=??+??．給出下列三個命題：

①若點C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

其中真命題的個數為（）

A 0 B 1 C 2 D 3

7．如圖,設O點在內部,且有,則的面積與的面積的比為（）

A 2 B

C 3 D

8．已知點P 是拋物線上一點，設點P到此拋物線準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（）

A 5 B 4 C D

A

B

C

D

10．在正整數數列中，由1開始依次按如下規則將某些數染成紅色．先染1，再染2個偶數2、4；再染4后面最鄰近的3個連續奇數5、7、9；再染9后面最鄰近的4個連續偶數10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個連續奇數17、19、21、23、25．按此規則一直染下去，得到一紅色子數列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．則在這個紅色子數列中，由1開始的第2003個數是（）

A 3844 B 3943 C 3945 D 4006

試題詳情

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.

11．某校為了了解高三年級學生的身體狀況，現用分層抽樣的方法，從全段600名學生中抽取60名進行體檢，如果在抽取的學生中有男生36名，則在高三年級中共有女生名．

試題詳情

12．，則

試題詳情

13．通過兩個定點且在軸上截得的弦長等于的圓的方程是

試題詳情

14．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β.

試題詳情

（）當滿足條件時，m∥β；

試題詳情

（）當滿足條件時，m⊥β　（注意：只要填條件中的序號）

試題詳情

15．設是定義在上的偶函數，其圖像關于直線對稱，對任意，，有，，則

試題詳情

（）；

試題詳情

（）若記，那么

試題詳情

三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16．（本小題滿分12分）

試題詳情

已知△ABC的三邊成等比數列，且，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求的面積。

17．（本小題滿分12分）

　　設輪船有兩個發動機，輪船有四個發動機，如果半數或半數以上的發動機沒有故障，輪船就能夠安全航行．現設每個發動機發生故障的概率是的函數：（其中為發動機啟動后所經歷的時間,為正常數，每個發動機工作相互獨立）．

試題詳情

（Ⅰ）分別求出輪船安全航行的概率（用表示）；

試題詳情

（Ⅱ）根據時間的變化，比較輪船和輪船哪一個更能安全航行（除發動機發生故障外，不考慮其他因素）．

試題詳情

18．（本小題滿分12分）

試題詳情

如圖，等腰直角△中，，平面，∥，.

試題詳情

（Ⅰ）求二面角的大小；

試題詳情

（Ⅱ）求點到平面的距離；

試題詳情

19．（本小題滿分13分）

如圖所示，某校把一塊邊長為2a的等邊△ABC的邊角地(如圖)辟為生物園，圖中DE把生物園分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.

（Ⅰ）設AD＝x（x≥a），ED＝y，求用x表示y的函數關系式；?

（Ⅱ）如果DE是灌溉水管的位置，為了省錢，希望它最短，DE的位置應該在哪里?如果DE是參觀線路，即希望它最長，DE的位置又應該在哪里?請給予證明.?

試題詳情

20．（本小題滿分13分）

試題詳情

如圖，設是橢圓的左焦點，直線為對應的準線，直線與軸交于點，線段為橢圓的長軸，已知，且．

（Ⅰ）求證：對于任意的割線，恒有；

（Ⅱ）求三角形△ABF面積的最大值．

21．（本小題滿分13分）

已知點是且

（Ⅰ）求的定義域；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：數列{a_n}前n項和

一、選擇題：ADBAA BCCDB

二、填空題

11.; 12． ; 13．

14．（）③⑤ （）②⑤ 15．（）；（） 0

三、解答題：

16．解：（1）

…………5分

由成等比數列，知不是最大邊

…………6分

（2）由余弦定理

得ac=2 …………11分

= …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1當時，則．此時輪船更安全．

2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．

3當時，則．此時輪船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

故. …（12分）

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?

∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）²，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y²＝x²＋?cos60°，?

∴y²＝x²＋－2a²

∴y＝ (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）證明:∵y＝ (a≤x≤2a)，令x²＝t，則a²≤t≤4a²

且y＝，設f（t）＝t＋（a²≤t≤4a²）?

當t∈（a²，2a²）時，任取a²＜t₁＜t₂＜2a²，?

f（t₁）－f（t₂）＝（t₁＋）－（t₂＋）

＝（t₁－t₂）?，?

∵a²＜t₁＜t₂＜2a²?

∴t₁t₂＞0，t₁－t₂＞0，t₁t₂－4a⁴＜0?

∴f（t₁）－f（t₂）＞0，即f（t₁）＞f（t₂）?

∴f（x）在（a²，2a²）上是減函數.?

同理可得，f（x）在（2a²，4a²）上是增函數.?

又∵f（2a²）＝4a²，f（a²）＝f（4a²）＝5a²，當t＝2a²時，f（x）有最小值，即x＝a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a²或4a²時，f（x）有最大值，即x＝a或2a時，y有最大值，且y_max＝a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴橢圓的標準方程為． ………（3分）

當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，

當的斜率不為0時，設方程為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．

則

，

而

∴，從而．

綜合可知：對于任意的割線，恒有． ………（8分）

（Ⅱ），

即：，

當且僅當，即（此時適合于的條件）取到等號．

∴三角形△ABF面積的最大值是． ………………………………（13分）

21.解：（Ⅰ）由

故x>0或x≤－1

f(x)定義域為…………………………（4分）

（Ⅱ）

下面使用數學歸納法證明：

①在n=1時，a₁=1，<a₁<2，則n=1時（*）式成立.

②假設n=k時成立，

由

要證明：

只需

只需(2k+1)³≤8k(k+1)²

只需1≤4k²+2k

而4k²+2k≥1在k≥1時恒成立.

只需證：4k²+11k+8>0，而4k²+11k+8>0在k≥1時恒成立.

于是：

因此得證.

綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立. ………………9分

（Ⅲ）要證明：

由（2）可知只需證：

…………（**）

下面用分析法證明：（**）式成立。

要使（**）成立，只需證：

即只需證：(3n－2)³n>(3n－1)³(n－1)

只需證：2n>1

而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：

于是由（**）式可知有：

因此有：

……………………………………（13分）

雅禮中學2008屆高三第八次質檢數學（理科）試題參考答案

一、選擇題：ADBAA BCCDB

二、填空題

11.; 12． ; 13．

14．（）③⑤ （）②⑤ 15．（）；（） 0

三、解答題：

16．解：（1）

…………5分

由成等比數列，知不是最大邊

…………6分

（2）由余弦定理

得ac=2 …………11分

= …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1當時，則．此時輪船更安全．

2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．

3當時，則．此時輪船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

故. …（12分）

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?

∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）²，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y²＝x²＋?cos60°，?

∴y²＝x²＋－2a²

∴y＝ (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）證明:∵y＝ (a≤x≤2a)，令x²＝t，則a²≤t≤4a²

且y＝，設f（t）＝t＋（a²≤t≤4a²）?

當t∈（a²，2a²）時，任取a²＜t₁＜t₂＜2a²，?

f（t₁）－f（t₂）＝（t₁＋）－（t₂＋）

＝（t₁－t₂）?，?

∵a²＜t₁＜t₂＜2a²?

∴t₁t₂＞0，t₁－t₂＞0，t₁t₂－4a⁴＜0?

∴f（t₁）－f（t₂）＞0，即f（t₁）＞f（t₂）?

∴f（x）在（a²，2a²）上是減函數.?

同理可得，f（x）在（2a²，4a²）上是增函數.?

又∵f（2a²）＝4a²，f（a²）＝f（4a²）＝5a²，當t＝2a²時，f（x）有最小值，即x＝a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a²或4a²時，f（x）有最大值，即x＝a或2a時，y有最大值，且y_max＝a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴橢圓的標準方程為． ………（3分）

當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，

當的斜率不為0時，設

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