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海淀區高三年級第二學期期末練習

數學（理科） 2008.5

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。

第Ⅰ卷（選擇題共40分）

注意事項：

1. 答卷前將學校、班級、姓名填寫清楚。

2. 選擇題的每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。其他小

題用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題

（1）直線x+y+1=0的傾斜角是（　　）
（A）（B）（C）（D）

試題詳情

（2）某中學有高一、高二、高三學生共1 600名，其中高三學生400名.如果用分層抽樣的方法從這1 600人抽取一個160人的樣本，那么應當從高三學生中抽取的人數是（　　）
（A）20 （B）40 （C）60 （D）80

（3）函數y= (x<-1)的反函數是（　　）
（A）y=-(x>0) （B）y=(x>0)

試題詳情

（C）y=-(x<-1) （D）y=(x<-1)

試題詳情

（4）函數f(x)=log₂(2x)與g(x)= ()^x-¹在同一直角坐標系下的圖象是（　　）

試題詳情

（5）設m,n,l是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是（）（A）若m,n與l所成的角相等，則m∥n

試題詳情

（B）若與，所成的角相等,則∥
（C）若m，n與所成的角相等，則m∥n
（D）若∥,m，則m∥

試題詳情

（6）若a_n=++…+(n=1,2,3…),則a_n₊₁-a_n₌ （）

試題詳情

（A）（B）-

試題詳情

（C）- （D）+

試題詳情

（7）已知元素為實數的集合A滿足條件：若aA,則A,那么集合A中所有元素的乘積為（）

（A）-1 （Ｂ）1 （C）0 （D）±1

（8）雙曲線x²-y²=2的左、右焦點分別為F₁, F₂，點P_n(x_n, y_n)(n=1,2,3…)在其右支上，且滿足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|,P₁F₂⊥F₁F_2,則x_{2 008}的值是（）

試題詳情

（A）4 016 （Ｂ）4 015 （C）4 016 （D）4 015

海淀區高三年級第二學期期末練習

試題詳情

數學（理科） 2008.5

第Ⅱ卷（共110分）

注意事項：

試題詳情

1. 用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。

試題詳情

2. 答卷前將密封線內的項目填寫清楚。

題號

一

二

三

總分

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

分數

試題詳情

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.

（9）已知映射f：AB,集合A中元素x在對應法則f作用下的象為log₃x,那么A中元素的象是 .

試題詳情

（10）集合A={≥0}，B={x||x-2|<3}, A∪B= .

試題詳情

（11）在等差數列{a_n}中，若a₉=6,則a₇-a₃= .

（12）設圓x²+ y²-2x=0關于直線x+y=0對稱的圓為C，則圓C的圓心坐標為；再把圓C沿向量a=(1，2)平移得到圓D,則圓D的方程為 .

試題詳情

（13）在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為棱AB和CC₁的中點，則線段EF被正方體的內切球球面截在球內的線段長為 .

試題詳情

（14）中國象棋中規定：馬每走一步只能按日字格（也可以是橫日“”）的對角線走.例如馬從方格中心點O走一步，會有8種走法. 則從圖中點A走到點B，最少需要步，按最少的步數走，共有種走法.

試題詳情

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

（15）（本小題共12分）
設函數f(x)=p?q，其中向量p=(sinx,cosx+sinx), q= (2cosx,cosx-sinx),xR.

試題詳情

（Ⅰ）求f（）的值及函數f(x)的最大值;

（Ⅱ）求函數f(x)的單調遞增區間.

（16）（本小題共14分）

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，動點P在棱A₁B₁上，

（Ⅰ）求證：PD⊥AD₁；

試題詳情

（Ⅱ）當A₁P=A₁B₁時，求CP與平面D₁DCC₁所成角的正弦值；

試題詳情

（Ⅲ）當A₁P=A₁B₁時，求點C到平面D₁DP的距離.

試題詳情

（17）（本小題共13分）

試題詳情

某單位為普及奧運知識，根據問題的難易程度舉辦A，B兩種形式的知識競猜活動.A種競猜活動規定：參賽者回答6個問題后，統計結果，答對4個，可獲福娃一個，答對5個或6個，可獲其他獎品；B種競猜活動規定：參賽者依次回答問題，答對一個問題就結束競猜且最多回答6個問題，答對一個問題者可獲福娃一個.假定參賽者答對每個題的概率均為.

（Ⅰ）求某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率；

（Ⅱ）設某人參加B種競猜活動，結束時答題數為η，求E_η.

（18）（本小題共13分）

試題詳情

如圖，矩形ABCD中，AB=，BC=2，橢圓M的中心和準線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線，矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長，橢圓M的離心率大于0.7.

（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求橢圓M的方程；

試題詳情

（Ⅱ）過橢圓M的中心作直線l與橢圓交于P，Q兩點，設橢圓的右焦點為F₂，當∠PF₂Q=時，求△PF₂Q的面積.

試題詳情

（19）（本小題共14分）

試題詳情

已知函數f(x)=-x³+ax²-4(aR).

試題詳情

（Ⅰ）若函數y=f(x)的圖象在點P(1,f(1))處的切線的傾斜角為,求a；

試題詳情

（Ⅱ）設f(x)的導函數是f′( x).在（Ⅰ）的條件下，若m,n［-1，1］，求f(m)+ f′( n)的最小值;

試題詳情

（Ⅲ）若存在x₀(0,+∞),使f(x₀)>0，求a的取值范圍.

試題詳情

（20）（本小題共14分）
已知函數y=f(x), xN^*, y N^*滿足:
①對任意a,bN^*,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a);
②對任意nN^*都有［f(n)］=3n.

（Ⅰ）試證明：f(x)為N^*上的單調增函數；

（Ⅱ）求f(1)+f(6)+f(28)；

試題詳情

（Ⅲ）令a_n=f(3ⁿ),nN^*試證明: ≤+…+<.

海淀區高三年級第二學期期末練習

數學（理科）

試題詳情

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

題號

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

（D）

（B）

（A）

（D）

（C）

（B）

（C）

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分）

（9）-1　　（10）{x|x<-4,或x>-1}　　（11）4

（12）（0，-1）,（x-1)²+(y-1)²=1 （13） (14)4,8

三、解答題（本大題共6小題,共80分）

（15）（共12分）

解：（Ⅰ）∵p =(sinx,cosx+sinx), q =(2cosx,cosx-sinx),

∴f（x）=p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx-sinx)

=2sinxcosx+cos²x-sin²x …………………………………… 2分

=sin2x+cos2x ……………………………………………… 4分
∴ f()=. …………………………………………………… 5分
又f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+) …………………………… 6分
∴函數f(x)的最大值為. ……………………………………… 7分
當且僅當x=+k(kZ)時，函數f(x)取得最大值.

（Ⅱ）由2k-≤2x+≤2k+ ( kZ), …………………… 9分

得k-≤x≤k+. ………………………………………… 11分

函數f(x)的單調遞增區間為［k-, k+］( kZ). …… 12分

（16）（共14分）

解法一：（Ⅰ）證明：連結A₁D，在正方體AC₁中，∵A₁B₁⊥平面A₁ADD₁_，

∴A₁D是PD在平面A₁ADD₁內的射影. …………………………………… 2分

∵在正方形A₁ADD₁中，A₁D⊥AD₁，∴PD⊥AD_1.……………………… 4分

解：（Ⅱ）取D₁C₁中點M，連結PM，CM,則PM∥A₁D₁.

∵A₁D₁⊥平面D₁DCC₁，∴PM⊥平面D₁DCC₁.

∴CM為CP在平面D₁DCC₁內的射影.則∠PCM為CP與平面D₁DCC₁

所成的角. …………………………………………………………… 7分

在Rt△PCM中,sinPCM==.

∴CP與平面D₁DCC₁所成角的正弦值為. …………………………… 9分

（Ⅲ）在正方體AC₁中，D₁D∥C₁C.

∵C₁C平面D₁DP內，

∴C₁C⊥∥平面D₁DP.

∴點C到平面D₁DP的距離與點C₁

到平面D₁DP的距離相等.

又D₁D⊥平面A₁B₁C₁D_1,

DD₁平面D₁DP

∴平面D₁DP⊥平面A₁B₁C₁D_1,

又平面D₁DP∩平面A₁B₁C₁D₁=

D₁P,過C₁作C₁H⊥D₁P于H,

則C₁H⊥平面D₁DP.

∴C₁H的長為點C₁到平面D₁DP的距離. ………………………12分

連結C₁P，并在D₁C₁上取點Q，使PQ∥B₁C₁，在△D₁PC₁中,

C₁H?D₁P=PQ?D₁C₁，得C₁H= .

∴點C到平面D₁DP的距離為. ……………………………… 14分

解法二：如圖，以D為坐標原點，建立空

間直角坐標系D-xyz.

由題設知正方體棱長為4，則

D(0,0,0) ,A(4,0,0)，

B₁(4,4,4) ,A₁(4,0,4)，

D₁(0,0,4) ,C（0,4,0）.

………………………………………1分

(Ⅰ)設P(4，y₀，4),

∴=(4,y₀,4),

∴=(-4,0,4)

……………………………3分

∵?=-16+16=0,

∴PD⊥AD_1. …………………………………………………………… 4分

（Ⅱ）由題設可得,P（4,2,4），故=（4，-2，4）.

∵AD⊥平面D₁DCC_1,∴=(4,0,0)是平面D₁DCC₁的法向量. ……………

……………………………………………………………………………… 7分

∴cos<, >= =.……………………………………………… 8分

∴CP與平面D₁DCC₁所成角的正弦值為. …………………………………… 9分

(Ⅲ) ∵=(0,4,0),設平面D₁DP的法向量n=(x,y,z),

∵P(4,3,4), ∴=(0,0,4),=(4,3,4).

則即令x=-3,則y=4.

∴n=(-3,4,0). ……………………………………………………………… 12分

∴點C到平面D₁DP的距離為d= =. ………………………… 14分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）設事件“某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品”為事件M，…… 1分

依題意，答對一題的概率為，則

P（M）= …………………………………………………… 3分

=15×==. ………………………………………………… 4分

（Ⅱ）依題意，某人參加B種競猜活動，結束時答題數η=1，2，…,6，……… 5分

則P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,P(η=4)=, P(η=5)=,

P(η=6)= , ……………………………………………………… 11分

所以,η的分布列是

E_η=1×+2××+…+5××+6×.

設S=1+2×+…+5×,

則S=+2×+3×+4×+5×,

S=1++++-5×=-5×,

E_η₌-5×+6×==. ……………………… 13分

答：某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率為；某人參加B種競猜活動，

結束時答題數為η，E_η為.

（18）（共13分）

解：如圖，建立直角坐標系，依題意:設

橢圓方程為+=1(a>b>0),

……………………………… 1分

(Ⅰ)依題意：=，b=1,

a²= b²+c², ………… 4分

∵橢圓M的離心率大于0.7,

∴a²=4, b²=1.

∴橢圓方程為+y²=1. …………………………………………………… 6分

(Ⅱ)因為直線l過原點與橢圓交于點P,Q，設橢圓M的左焦點為F₁.由對稱性可知，

四邊形PF₁QF₂是平行四邊形.

∴△PF₂Q的面積等于△PF₁ F₂的面積. …………………………………… 8分

∵∠PF₂Q=，∴∠F₁PF₂=.

設|PF₁|=r_1, |PF₂|=r₂,則 ……………………………… 10分

∴r₁ r₂=. ………………………………………………………………… 11分

∴S_△=S_△= r₁ r₂sin=. ………………………………… 13分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）f′(x)=-3x²+2ax. ……………………………………………………… 1分

據題意，f′(1)=tan=1, ∴-3+2a=1,即a=2. ……………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-x³+2x²-4,

則f′(x)=-3x²+4x.

-1

(-1,0)

(0,1)

f′(x)

-7

f(x)

-1

-4

-3

…………………………………………………………………………… 5分

∴對于m［-1,1］,f(m)的最小值為f(0)=-4 ………………… 6分

∵f′( x)=-3x²+4x的對稱軸為x=,且拋物線開口向下，

∴x［-1,1］時，f′( x)的最小值為f′( -1)與f′( 1)中較小的.

∵f′( 1)=1，f′( -1)=-7,

∴當x［-1,1］時，f′( x)的最小值為-7.

∴當n［-1,1］時，f′ ( x)的最小值為-7. …………………… 7分

∴f(m)+ f′( n)的最小值為-11. ………………………………… 8分

(Ⅲ) ∵f′( x)= -3x.

①若a≤0,當x>0時，f′( x)<0, ∴f(x)在［0,+∞上單調遞減.

又f(0)=-4,則當x>0時,f(x)<-4.

∴當a≤0時,不存在x₀>0,使f(x₀)>0. …………………………………… 11分

②若a>0,則當0<x<時，f ′( x)>0,當x>時，f ′( x)<0.

從而f(x)在(0, 上單調遞增，在 [,+∞上單調遞減.

∴當x(0,+∞)時, f(x)_max=f()=-+-4=-4.

據題意，-4>0，即a³>27. ∴a>3. ……………………………… 14分

綜上，a的取值范圍是(3,+∞).

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）由①知，對任意a,bN*，a＜b,都有（ab）（f (a)f（b））＞0，

由于a-b＜0, 從而f（a）＜f（b），所以函數f（x）為N^*上的單調增函數. …3分

（Ⅱ）令f（1）=a，則a≥1，顯然a≠1,否則f（f（1））= f（1）=1,與f（f（1））=3矛盾.

從而a＞1,

而由f（f（1））=3，即得f（a）=3.

又由（Ⅰ）知f（a）＞f（1）=a ,即a＜3.

于是得1＜a＜3,又aN^*,從而a=2，即f（1）=2 ……………… 5分

進而由f（a）=3知，f（2）=3.

于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，………………………………… 7分

f（6）=f（f（3））=3×3=9，

f（9）=f（f（6））=3×6=18，

f（18）=f（f（9））=3×9=27，

f（27）=f（f（18））=3×18=54，

f（54）=f（f（27））=3×27=81.

由于5427=8154=27,

而且由（Ⅰ）知，函數f（x）為單調增函數，因此f（28）=54+1=55.

從而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66.……………………… 9分

（Ⅲ）f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹,

a_n₊₁=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n,a₁=f（3）=6.

即數列{a_n}是以6為首項，以3為公比的等比數列.

∴a_n=6×3ⁿ¹=2×3ⁿ（n=1，2，3…）.………………………… 11分

于是++…+=（++…+）=×.

顯然（）＜.………………………………………………12分

另一方面3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+×2+×2²+…+×2ⁿ≥1+2n,

從而（1）≥（1）=.

綜上得≤++…+＜.………………………………14分

說明：其他正確解法按相應步驟給分.

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