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在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為A₁B₁，CD的中點．
（1）求直線EC與AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．

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在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為A₁D₁和CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ACD₁；
（Ⅱ）求異面直線EF與AB所成的角的余弦值；
（Ⅲ）在棱BB₁上是否存在一點P，使得二面角P-AC-B的大小為30°？若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

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在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為A₁B₁，CD的中點．
（1）求直線EC與AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

題號

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

（D）

（B）

（A）

（A）

（D）

（C）

（B）

（C）

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分）

（9）-1　　   （10）{x|x<-4,或x>-1}　　  （11）4

（12）（0，-1）,（x-1)²+(y-1)²=1    （13）    (14)4,8

三、解答題（本大題共6小題,共80分）

（15）（共12分）

解：（Ⅰ）∵p =(sinx,cosx+sinx), q =(2cosx,cosx-sinx),

∴f（x）=p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx-sinx)

=2sinxcosx+cos²x-sin²x   …………………………………… 2分

=sin2x+cos2x  ……………………………………………… 4分
∴ f()=. …………………………………………………… 5分
又f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+)  …………………………… 6分
∴函數f(x)的最大值為.  ……………………………………… 7分
當且僅當x=+k(kZ)時，函數f(x)取得最大值.

（Ⅱ）由2k-≤2x+≤2k+ ( kZ),  …………………… 9分

得k-≤x≤k+.  ………………………………………… 11分

函數f(x)的單調遞增區間為［k-, k+］( kZ). …… 12分

（16）（共14分）

解法一：（Ⅰ）證明：連結A₁D，在正方體AC₁中，∵A₁B₁⊥平面A₁ADD_1，

∴A₁D是PD在平面A₁ADD₁內的射影. …………………………………… 2分

∵在正方形A₁ADD₁中，A₁D⊥AD₁，∴PD⊥AD_1.  ……………………… 4分

解：（Ⅱ）取D₁C₁中點M，連結PM，CM,則PM∥A₁D₁.

∵A₁D₁⊥平面D₁DCC₁，∴PM⊥平面D₁DCC₁.

∴CM為CP在平面D₁DCC₁內的射影.則∠PCM為CP與平面D₁DCC₁

所成的角.      …………………………………………………………… 7分

在Rt△PCM中,sinPCM==.

∴CP與平面D₁DCC₁所成角的正弦值為. …………………………… 9分

（Ⅲ）在正方體AC₁中，D₁D∥C₁C.

∵C₁C平面D₁DP內，

∴C₁C⊥∥平面D₁DP.

∴點C到平面D₁DP的距離與點C₁

到平面D₁DP的距離相等.

又D₁D⊥平面A₁B₁C₁D_1,

DD₁平面D₁DP

∴平面D₁DP⊥平面A₁B₁C₁D_1,

又平面D₁DP∩平面A₁B₁C₁D₁=

D₁P,過C₁作C₁H⊥D₁P于H,

則C₁H⊥平面D₁DP.

∴C₁H的長為點C₁到平面D₁DP的距離.    ………………………12分

連結C₁P，并在D₁C₁上取點Q，使PQ∥B₁C₁，在△D₁PC₁中,

C₁H?D₁P=PQ?D₁C₁，得C₁H= .

∴點C到平面D₁DP的距離為.   ……………………………… 14分

解法二：如圖，以D為坐標原點，建立空

間直角坐標系D-xyz.

由題設知正方體棱長為4，則

D(0,0,0) ,A(4,0,0)，

B₁(4,4,4) ,A₁(4,0,4)，

D₁(0,0,4) ,C（0,4,0）.

………………………………………1分

(Ⅰ)設P(4，y₀，4),

∴=(4,y₀,4),

∴=(-4,0,4)

……………………………3分

∵?=-16+16=0,

∴PD⊥AD_1.   …………………………………………………………… 4分

（Ⅱ）由題設可得,P（4,2,4），故=（4，-2，4）.

∵AD⊥平面D₁DCC_1, ∴=(4,0,0)是平面D₁DCC₁的法向量.  ……………

……………………………………………………………………………… 7分

∴cos<, >=          =.……………………………………………… 8分

∴CP與平面D₁DCC₁所成角的正弦值為. …………………………………… 9分

(Ⅲ) ∵=(0,4,0),設平面D₁DP的法向量n=(x,y,z),

∵P(4,3,4), ∴=(0,0,4),=(4,3,4).

則             即令x=-3,則y=4.  

∴n=(-3,4,0).   ……………………………………………………………… 12分

∴點C到平面D₁DP的距離為d=        =.  ………………………… 14分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）設事件“某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品”為事件M，…… 1分

依題意，答對一題的概率為，則

P（M）=  …………………………………………………… 3分

=15×==.    ………………………………………………… 4分

（Ⅱ）依題意，某人參加B種競猜活動，結束時答題數η=1，2，…,6，……… 5分

則P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,P(η=4)=, P(η=5)=,

P(η=6)= ,    ………………………………………………………  11分

所以,η的分布列是

η

1

2

3

4

5

6

E_η=1×+2××+…+5××+6×.

設S=1+2×+…+5×,

則S=+2×+3×+4×+5×,

S=1++++-5×=-5×,

E_η=-5×+6×==.  ……………………… 13分

答：某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率為；某人參加B種競猜活動，

結束時答題數為η，E_η為.

（18）（共13分）

解：如圖，建立直角坐標系，依題意:設

橢圓方程為+=1(a>b>0),

……………………………… 1分

 (Ⅰ)依題意：=，b=1,

a²= b²+c², ………… 4分

∵橢圓M的離心率大于0.7,

∴a²=4, b²=1.

∴橢圓方程為+y²=1.  …………………………………………………… 6分

(Ⅱ)因為直線l過原點與橢圓交于點P,Q，設橢圓M的左焦點為F₁.由對稱性可知，

四邊形PF₁QF₂是平行四邊形.

∴△PF₂Q的面積等于△PF₁ F₂的面積.  …………………………………… 8分

∵∠PF₂Q=，∴∠F₁PF₂=.

設|PF₁|=r_1, |PF₂|=r₂,則   ……………………………… 10分

∴r₁ r₂=.  ………………………………………………………………… 11分

∴S_△=S_△= r₁ r₂sin=.  ………………………………… 13分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）f′(x)=-3x²+2ax.   ……………………………………………………… 1分

據題意，f′(1)=tan=1, ∴-3+2a=1,即a=2. ……………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-x³+2x²-4,

則f′(x)=-3x²+4x.

x

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

f′(x)

-7

-

0

+

1

f(x)

-1

-4

-3

…………………………………………………………………………… 5分

∴對于m［-1,1］,f(m)的最小值為f(0)=-4  ………………… 6分

∵f′(   x)=-3x²+4x的對稱軸為x=,且拋物線開口向下，

∴x［-1,1］時，f′(   x)的最小值為f′(   -1)與f′(   1)中較小的.

∵f′(  1)=1，f′(  -1)=-7,

∴當x［-1,1］時，f′(   x)的最小值為-7.

∴當n［-1,1］時，f′ (   x)的最小值為-7.  …………………… 7分

∴f(m)+ f′(   n)的最小值為-11.   ………………………………… 8分

(Ⅲ) ∵f′(  x)= -3x.

①若a≤0,當x>0時，f′(   x)<0, ∴f(x)在［0,+∞上單調遞減.

又f(0)=-4,則當x>0時,f(x)<-4.

∴當a≤0時,不存在x₀>0,使f(x₀)>0. …………………………………… 11分

②若a>0,則當0<x<時，f ′(  x)>0,當x>時，f ′(  x)<0.

從而f(x)在(0, 上單調遞增，在 [,+∞上單調遞減.

∴當x(0,+∞)時, f(x)_max=f()=-+-4=-4.

據題意，-4>0，即a³>27. ∴a>3.  ……………………………… 14分

綜上，a的取值范圍是(3,+∞).

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）由①知，對任意a,bN*，a＜b,都有（ab）（f (a)f（b））＞0，

由于a-b＜0, 從而f（a）＜f（b），所以函數f（x）為N^*上的單調增函數. …3分

（Ⅱ）令f（1）=a，則a≥1，顯然a≠1,否則f（f（1））= f（1）=1,與f（f（1））=3矛盾.

      從而a＞1,

而由f（f（1））=3，即得f（a）=3.

又由（Ⅰ）知f（a）＞f（1）=a ,即a＜3.

于是得1＜a＜3,又aN^*,從而a=2，即f（1）=2  ……………… 5分

進而由f（a）=3知，f（2）=3.

于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，………………………………… 7分

f（6）=f（f（3））=3×3=9，

f（9）=f（f（6））=3×6=18，

f（18）=f（f（9））=3×9=27，

f（27）=f（f（18））=3×18=54，

f（54）=f（f（27））=3×27=81.

由于5427=8154=27,

而且由（Ⅰ）知，函數f（x）為單調增函數，因此f（28）=54+1=55.

從而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66.………………………  9分

（Ⅲ）f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹,

a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n,a₁=f（3）=6.

即數列{a_n}是以6為首項，以3為公比的等比數列.

∴a_n=6×3ⁿ¹=2×3ⁿ（n=1，2，3…）.…………………………  11分

      于是++…+=（++…+）=×.

       顯然（）＜.………………………………………………12分

      另一方面3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+×2+×2²+…+×2ⁿ≥1+2n,

      從而（1）≥（1）=.

       綜上得≤++…+＜.………………………………14分

說明：其他正確解法按相應步驟給分.