揚州市2006―2007學年度第二學期高三調研測試試題
數 學
本試卷選擇題10題，非選擇題11題，共21題，共150分，考試時間120分鐘。
注意事項
1、 答題前考生務必將本人的學校、班級、姓名、考試號填在答題卡的密封線內.
2、 將每題的答案或解答寫在答題卡上，在試卷上答題無效.
3、 考試結束，只交答題卡.
4、
參考公式：球的體積公式
；一組數據
的方差
（其中
為這組數據的平均數）；獨立重復試驗概率公式
.
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的，請將答案填寫在第II卷答題欄內。
1．設全集
=
，
，
，則
等于
A．
B．
C．
D．
2．
的展開式中，含有
的正整數次冪的項共有
A．4項 B．3項 C．2項 D．1項
3．高三（10）班甲、乙兩位同學6次數學測試的成績如下表：
1
2
3
4
5
6
甲
122
120
125
116
120
117
乙
118
125
120
122
115
120
僅從這6次考試成績來看，甲、乙兩位同學數學成績穩定的情況是
A．甲穩定 B．乙穩定 C．甲與乙一樣穩定 D．不能確定
4．設
為不同的平面，
為不同的直線，則
的一個充分不必要條件是
A．
B．
C．
D．
5．在
中，已知
，則
A．
.
B．
.
C．
D．
6．已知定義在R上的函數
滿足下列三個條件：
①對任意的x∈R都有
②對于任意的
，都有
③
的圖象關于y軸對稱．
則下列結論中，正確的是
A． 
B．
C． 
D．
7．A、B、C、D、E五個人住進編號為1，2，3，4，5的五個房間，每個房間只住一人，則B不住2號房間，且B，C兩人要住編號相鄰房間的住法種數為
A．24
B．
8．橢圓
的中心、右焦點、右頂點、右準線與軸的交點依次為O、F、A、H，則
的最小值為
A．2
B．
9．某學校的生物實驗室里有一個魚缸，里面有12條大小差不多的金魚，8條紅色，4條黑色，實驗員每次都是隨機的從魚缸中有放回的撈取1條金魚.若該實驗員每周一、二、三3天有課，且每天上、下午各一節，每節課需要撈一條金魚使用，用過放回.則該實驗員在本周有課的這三天中，星期一上、下午所撈到的兩條金魚為同色，且至少有一天撈到不同的顏色金魚的概率是
A．
B．
C． 
D．
10．設方程
的兩根為
，
（<），則
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案填寫在橫線上.
11.在坐標平面上，不等式組
所表示的平面區域的周長為 ▲ .
12.已知函數
的圖象與直線
的交點中最近的兩點間的距離為
，則函數
的最小正周期等于 ▲
13．球O上兩點A、B間的球面距離為
，
有一個內角為，則此球的體積是 ▲ .
14．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為
，則其離心率為
▲ .
15．若直線
始終平分圓
的周長，則
的最小值為
▲
.
16．已知函數
(
)，其中[x]表示不超過x的最大整數，如[－2.1]=－3，[－3]=－3，[2.5]=2.定義
是函數
的值域中的元素個數，數列
的前n項和為
，則滿足
的最大正整數n= ▲
.
三、解答題：本大題共5小題，共70分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（本題滿分12分） 中，角A、B、C所對的邊分別為
、
、
，已知
（1）求
的值；
（2）求的面積。
18. （本題滿分14分） 已知
,點
在
軸上，點
在軸的正半軸上，點
在直線
上，且滿足
，
。
（1）當點在軸上移動時，求點的軌跡
的方程；
（2）設
為軌跡上兩點，
，
，
，若存在實數
，使
，且
，求的值。
19．（本題滿分14分）如圖，已知正三棱柱
中，
，
，三棱錐
中，
，且
。
（1）求證：
；
（2）求二面角
的大小；
（3）求點到平面
的距離。
20．（本題滿分14分）設函數
，已知
，且
（a∈R，且a≠0），函數
（b∈R，c為正整數）有兩個不同的極值點，且該函數圖象上取得極值的兩點A、B與坐標原點O在同一直線上。
（1）試求a、b的值；
（2）若
時，函數
的圖象恒在函數圖象的下方，求正整數的值。
21．（本題滿分16分）已知數列{an}滿足
，
，
，
為正數 .
（1）若
對恒成立，求m的取值范圍；
（2）是否存在，使得對任意正整數
都有
？若存在，求出的值；
若不存在，請說明理由。
一、選擇題：（每小題5分，共50分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
D
A
B
C
C
D
二、填空題：（每小題5分，共30分）
11. 
； 12. 
； 13. 
； 14. 2或
； 15. 
； 16. 9.
三、解答題：（5大題，共70分）
17.（1）由
，得
------------3分
為銳角，
， -------5分
--------------------------6分
（2）
---8分
又
，
，得
，
--------------------------10分
--------------------------12分
（若通過
得出
，求出
，
未舍去
，
得兩解，扣2分.）
18.（1）設點
，由
得
，
，
由
，得
， ------------------------4分
即
.
---------------------6分
（2）由(1)知
為拋物線
：
的焦點，
為過焦點的直線與的兩個交點.
①當直線
斜率不存在時，得
，
，
. ----8分
②當直線斜率存在且不為0時，設
，代入得
.設
，
則
，得
， ----12分
（或
）
，此時
，由
得
。
---------------14分
19.解法一：
（1）在
中，
，
，
∴
，取
中點
，
， 
，
在
中，
，
，又
均為銳角，∴
， ---------------2分
，又
外， 
. ---------------4分
（２）∵平面
平面
，∴
，過作
于
，連結
，則
，
為二面角
的平面角， ------------------------6分
易知
=
，∴
，
二面角
的大小為
. ------------------------9分
（其它等價答案給同樣的得分）
（３）
，
點到平面
的距離，就是到平面的距離，-------------------------------11分
過作
于
，則
，
的長度即為所求， 由上
（或用等體積
求）----------------------------------14分
解法二：
如圖，建立圖示空間直角坐標系.
則
，
，
，
，
.
（1）
（2）利用
，其中
分別為兩個半平面的法向量，
或利用
求解.
（3）利用
，其中
為平面的法向量。
20.（1）
，∴
①
又
，∴
，即
②
由①②得
，
.又
時，①、②不成立，故
.------2分
∴
，設x1、x2是函數
的兩個極值點，則x1、x2是方程
=0的兩個根，
，
∴x1+x2=
，又∵ A、O、B三點共線，
=
，
∴
=0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2=，∴b=0. ----------------6分
（2）
時，
，
-----------------------7分
由
得
，可知在
上單調遞增，在
上單調遞減，
. ---------------------9分
①由
得
的值為1或2.（∵
為正整數） -----------------11分
②
時，記在
上切線斜率為2的切點的橫坐標為
，
則由
得
，依題意得
，
得
與
矛盾.
（或構造函數
在
上恒正）
綜上，所求的值為1或2.
-----------------------14分
21.（1）∵
為正數，
①，
=1，∴
>0（n∈N*），……… 1分
又
②，①―②兩式相減得
，
∴
與
同號，
---------------------4分
∴
對n∈N*恒成立的充要條件是
>0.
---------------------7分
由=
>0，得>7 .
---------------------8分
（2）證法1：假設存在，使得對任意正整數
都有
.
則
，則>17 .
--------------------9分
另一方面，=
=
，---------11分
∴，
，……，，
∴
，∴
=
， ①
--------------------------------14分
當m>16時，由①知，
，不可能使
對任意正整數n恒成立，
--------------------------------15分
∴m≤16，這與>17矛盾，故不存在m，使得對任意正整數n都有 .
--------------------------------16分
（2）證法2：假設存在m，使得對任意正整數n都有 .
則，則>17 .
--------------------9分
另一方面，
，
------------------11分
∴
，
，……，
，
∴
，
①
-----------------14分
當m>16時，由①知，，不可能使對任意正整數恒成立，
--------------------------15分
∴m≤16，這與>17矛盾，故不存在m，使得對任意正整數n都有 。
-----------------------------16分
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