題目列表(包括答案和解析)
是否存在一個二次函數
，使得對任意的正整數
，當
時，都
成立？請給出結論，并加以證明．是否存在一個二次函數
，使得對任意的正整數
，當
時，都
有
成立？請給出結論，并加以證明．
數列
中，
；
， 對任意的
為正整數都有
。
（1）求證：
是等差數列；
（2）求出
的通項公式
；
（3）若
（
），是否存在實數
使得
對任意的恒成立？若存在，找出；若不存在，請說明理由。
(1)是否存在正整數的無窮數列{an}，使得對任意的正整數n都有
．
(2)是否存在正無理數的無窮數列{an}，使得對任意的正整數n都有
．
（1）是否存在正整數的無窮數列
，使得對任意的正整數n都有
。
（2）是否存在正無理數的無窮數列，使得對任意的正整數n都有。
一、選擇題：（每小題5分，共50分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
D
A
B
C
C
D
二、填空題：（每小題5分，共30分）
11. 
； 12. 
； 13. 
； 14. 2或
； 15. 
； 16. 9.
三、解答題：（5大題，共70分）
17.（1）由
，得
------------3分
為銳角，
， -------5分
--------------------------6分
（2）
---8分
又
，
，得
，
--------------------------10分
--------------------------12分
（若通過
得出
，求出
，
未舍去
，
得兩解，扣2分.）
18.（1）設點
，由
得
，
，
由
，得
， ------------------------4分
即
.
---------------------6分
（2）由(1)知
為拋物線
：
的焦點，
為過焦點的直線與的兩個交點.
①當直線
斜率不存在時，得
，
，
. ----8分
②當直線斜率存在且不為0時，設
，代入得
.設
，
則
，得
， ----12分
（或
）
，此時
，由
得
。
---------------14分
19.解法一：
（1）在
中，
，
，
∴
，取
中點
，
， 
，
在
中，
，
，又
均為銳角，∴
， ---------------2分
，又
外， 
. ---------------4分
（２）∵平面
平面
，∴
，過作
于
，連結
，則
，
為二面角
的平面角， ------------------------6分
易知
=
，∴
，
二面角
的大小為
. ------------------------9分
（其它等價答案給同樣的得分）
（３）
，
點到平面
的距離，就是到平面的距離，-------------------------------11分
過作
于
，則
，
的長度即為所求， 由上
（或用等體積
求）----------------------------------14分
解法二：
如圖，建立圖示空間直角坐標系.
則
，
，
，
，
.
（1）
（2）利用
，其中
分別為兩個半平面的法向量，
或利用
求解.
（3）利用
，其中
為平面的法向量。
20.（1）
，∴
①
又
，∴
，即
②
由①②得
，
.又
時，①、②不成立，故
.------2分
∴
，設x1、x2是函數
的兩個極值點，則x1、x2是方程
=0的兩個根，
，
∴x1+x2=
，又∵ A、O、B三點共線，
=
，
∴
=0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2=，∴b=0. ----------------6分
（2）
時，
，
-----------------------7分
由
得
，可知在
上單調遞增，在
上單調遞減，
. ---------------------9分
①由
得
的值為1或2.（∵
為正整數） -----------------11分
②
時，記在
上切線斜率為2的切點的橫坐標為
，
則由
得
，依題意得
，
得
與
矛盾.
（或構造函數
在
上恒正）
綜上，所求的值為1或2.
-----------------------14分
21.（1）∵
為正數，
①，
=1，∴
>0（n∈N*），……… 1分
又
②，①―②兩式相減得
，
∴
與
同號，
---------------------4分
∴
對n∈N*恒成立的充要條件是
>0.
---------------------7分
由=
>0，得>7 .
---------------------8分
（2）證法1：假設存在，使得對任意正整數
都有
.
則
，則>17 .
--------------------9分
另一方面，=
=
，---------11分
∴，
，……，，
∴
，∴
=
， ①
--------------------------------14分
當m>16時，由①知，
，不可能使
對任意正整數n恒成立，
--------------------------------15分
∴m≤16，這與>17矛盾，故不存在m，使得對任意正整數n都有 .
--------------------------------16分
（2）證法2：假設存在m，使得對任意正整數n都有 .
則，則>17 .
--------------------9分
另一方面，
，
------------------11分
∴
，
，……，
，
∴
，
①
-----------------14分
當m>16時，由①知，，不可能使對任意正整數恒成立，
--------------------------15分
∴m≤16，這與>17矛盾，故不存在m，使得對任意正整數n都有 。
-----------------------------16分
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