Question

如圖所示，間距為L、半徑為R₀的內壁光滑的

1

4

圓弧固定軌道，右端通過導線接有阻值為R的電阻，圓弧軌道處于豎直向上的勻強磁場中，磁場的磁感應強度為B．質量為m、電阻為r、長度也為L的金屬棒，從與圓心等高的ab處由靜止開始下滑，到達底端cd時，對軌道的壓力恰好等于金屬棒的重力2倍，不計導軌和導線的電阻，空氣阻力忽略不計，重力加速度為g．求：
（1）金屬棒到達底端時，電阻R兩端的電壓U多大；
（2）金屬棒從ab處由靜止開始下滑，到達底端cd的過程中，通過電阻R的電量q；
（3）用外力將金屬棒以恒定的速率v從軌道的低端cd拉回與圓心等高的ab處的過程中，電阻R產生的熱量Q．

Answer 1

（1）金屬棒滑到軌道最低點時，由圓周運動：
N-mg=m

v2

R0

…①
根據題意：
N=2mg…②
金屬棒切割磁感線產生的感應電動勢為：
E=BLv…③
金屬棒產生的感應電流為：
I=

E

R+r

…④
電阻R兩端的電壓為：
U=IR…⑤
由①②③④⑤解得：
U=

BLR gR0

R+r

…⑥
（2）金屬棒從ab處由靜止開始下滑，到達底端cd的過程中，通過電阻R的電量為：
q=

.

I

t
由歐姆定律有：

.

I

=

. E

R+r

根據法拉第電場感應定律：

.

E

=N

△?

△t

=

BLR0

t

由以上三式得：
q=

BLR0

R+r

（3）金屬棒以恒定的速率v從軌道的底端cd拉回與圓心等高的ab處的過程中，金屬棒垂直于磁場方向的速度為：
v_x=vcosα
金屬棒切割產生的電動勢為：
E=BLv_x
感應電動勢有效值為：
E=

BLv

2

電路中的電流有效值為：
I=

E

R+r

=

BLv

2 (R+r)

金屬棒運動的時間為：
t=

1 4 ?2πR0

v

金屬棒產生的熱量為：
Q=I2Rt=(

BLv

2 (R+r)

)2?R?

1 4 ?2πR0

v

=

B2L2vπRR0

4(R+r)2

答：（1）金屬棒到達底端時，電阻R兩端的電壓為U=

BLR gR0

R+r

；
（2）金屬棒從ab處由靜止開始下滑，到達底端cd的過程中，通過電阻R的電量為q=

BLR0

R+r

；
（3）用外力將金屬棒以恒定的速率v從軌道的低端cd拉回與圓心等高的ab處的過程中，電阻R產生的熱量為Q=

B2L2vπRR0

4(R+r)2

．