Question

某火星探測(cè)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行電子計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，結(jié)果為：探測(cè)器在近火星表面軌道做圓周運(yùn)動(dòng)的周期是T；探測(cè)器著陸過程中，第一次接觸火星表面后，以v₀的初速度豎直反彈上升，經(jīng)t時(shí)間再次返回火星表面，設(shè)這一過程只受火星的重力作用，且重力近似不變．已知萬有引力常量為G，試求：
（1）火星的密度；
（2）火星的半徑．

Answer 1

分析：（1）已知探測(cè)器在火星表面軌道做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T根據(jù)萬有引力提供向心力可以求出火星的質(zhì)量，再根據(jù)密度定義可以求出火星的密度；
（2）根據(jù)豎直上拋工作可以求出火星表面的重力加速度，根據(jù)火星表面萬有引力與重力相等求出火星的半徑R．

解答：解：（1）設(shè)火星的半徑為R，則火星的質(zhì)量為M，探測(cè)器質(zhì)量為m，探測(cè)器繞火星表面飛行時(shí)，有：
G

mM

R2

=mR

4π2

T2

     ①
可得火星的質(zhì)量M=

4π2R3

GT2

    ②
則根據(jù)密度的定義有：ρ=

M

V

=

4π2R3 GT2

4 3 πR3

=

3π

GT2

（2）探測(cè)器在火星表面的萬有引力近似等于重力，有：
G

mM

R2

=mg′       ③
根據(jù)題意有探測(cè)器在火星表面反彈后做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)落回拋出點(diǎn)的時(shí)間t=

2v0

g′

得火星表面的重力加速度
g′=

2v0

t

              ④
將②、④代入③得：R=

v0T2

2π2t

答：（1）火星的密度ρ=

3π

GT2

；
（2）火星的半徑R=

v0T2

2π2t

．

點(diǎn)評(píng)：圍繞萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力和星球表面重力和萬有引力相等求解即可．