Question

某火星探測實驗室進行電子計算機模擬實驗，結果為：探測器在近火星表面軌道做圓周運動的周期是T；探測器著陸過程中，第一次接觸火星表面后，以v₀的初速度豎直反彈上升，經t時間再次返回火星表面，設這一過程只受火星的重力作用，且重力近似不變．已知萬有引力常量為G，試求：
（1）火星的密度；
（2）火星的半徑．

Answer 1

（1）設火星的半徑為R，則火星的質量為M，探測器質量為m，探測器繞火星表面飛行時，有：
G

mM

R2

=mR

4π2

T2

     ①
可得火星的質量M=

4π2R3

GT2

    ②
則根據密度的定義有：ρ=

M

V

=

4π2R3 GT2

4 3 πR3

=

3π

GT2

（2）探測器在火星表面的萬有引力近似等于重力，有：
G

mM

R2

=mg′       ③
根據題意有探測器在火星表面反彈后做豎直上拋運動，根據豎直上拋運動落回拋出點的時間t=

2v0

g′

得火星表面的重力加速度
g′=

2v0

t

              ④
將②、④代入③得：R=

v0T2

2π2t

答：（1）火星的密度ρ=

3π

GT2

；
（2）火星的半徑R=

v0T2

2π2t

．