Question

如圖所示，ABC和DEF是在同一豎直平面內的兩條光滑軌道，其中ABC的末端水平，DEF是半徑r=0.4m的半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，C、D可看作重合．現有一質量m=1kg的小球（可視為質點）從軌道ABC上距C點高為H的地方由靜止釋放．（取g=10m/s²）
（1）要使小球能沿軌道DEF運動，H至少多大？
（2）若小球不沿軌道DEF運動，但又恰好擊中與圓心等高的E點，則小球擊中E點時的速度多大？
（3）在第（2）問中，若小球到達E點與軌道DEF相撞后，僅保留沿軌道切線方向的速度，則小球到達F點時對軌道的壓力多大？

Answer 1

分析：（1）小球從ABC軌道下滑，機械能守恒，設到達C點時的速度大小為υ．小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓周最高點必須滿足mg≤m

v2

r

，聯立即可求解H；
（2）小球恰好擊中與圓心等高的E點，根據平拋運動的特點求出C點速度，再根據速度的合成原則求出E點速度；
（3）在E點碰撞后只有豎直方向的速度，根據機械能守恒定律求出到達F點的速度，再根據向心力公式即可求解壓力．

解答：解：（1）A、B、小球從ABC軌道下滑，機械能守恒，設到達C點時的速度大小為υ．則：mgH=

1

2

mv2…①
小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓周最高點必須滿足：mg≤m

v2

r

…②
①、②聯立并代入數據得：H≥0.2m
（2）若使小球恰好擊中與圓心等高的E點，則
運動的時間為：t=

2r g

=

0.08

s
所以C點的速度為vC=

r

t

=

2

m/s
所以E點速度為v=

vC2+(gt)2

=

10

m/s
（3）設小球在E點碰后的速度為v′_E，到達F點的速度為v_F，則
v_F=gt
由機械能守恒定律得：

1

2

mvE2+mgr=

1

2

mvF2
在F點有：N-mg=

mvF2

r

解得：N=50N
根據牛頓第三定律得：小球到達F點時對軌道的壓力為50N
答：（1）要使小球能沿軌道DEF運動，H至少為0.2m；
（2）若小球不沿軌道DEF運動，但又恰好擊中與圓心等高的E點，則小球擊中E點時的速度為

10m/s

；
（3）在第（2）問中，若小球到達E點與軌道DEF相撞后，僅保留沿軌道切線方向的速度，則小球到達F點時對軌道的壓力為50N．

點評：本題是圓周運動結合平拋運動的題型，要知道小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓周最高點必須滿足mg≤m

v2

r

，若不滿足，則小球做平拋運動，難度適中．