Question

如圖所示，ABC和ABD為兩個光滑固定軌道，A、B、E在同一水平面上，C、D、E在同一豎直線上，D點距水平面的高度為h，C點的高度為2h，一滑塊從A點以初速度v₀分別沿兩軌道滑行到C或D處后水平拋出．
（1）求滑塊落到水平面時，落點與E點間的距離x_C和x_D；
（2）為實現x_C＞x_D，v₀應滿足什么條件？
（3）如果滑塊的初速度一定，要使它從最高點拋出后的水平射程最大，則h′應為多大？此時的水平射程為多少？

Answer 1

分析：（1）滑塊離開C和D后，做平拋運動，由平拋運動的規律可以求的水平的位移；
（2）根據（1）中求得s_C和s_D的大小的表達式，根據題意分析可以得出，v₀應滿足的條件．
（3）根據（1）中求得的水平位移，應用數學知識求出水平位移的最大條件，并求出最大水平位移．

解答：解：（1）設拋出點高度為y，根據機械能守恒

1

2

mv₀²=

1

2

mv²+mgy，
所以平拋的初速度為 v=

v 2 0 -2gy

，
平拋后物體在豎直方向上做自由落體運動，
所以落地時間t滿足 y=

1

2

gt²，
所以 t=

2y g

，
落地點離拋出點的水平距離s=vt=

v 2 0 -2gy

2y g

，
分別以y=2h和y=h代入得：
 s_C=

v 2 0 -4gh

4h g

，
 s_D=

v 2 0 -2gh

2h g

，
（2）由題意知，要使s_C＜s_D，
也就是要有2（v₀²-4gh）＜v₀²-2gh，
所以v₀²＜6gh，
又滑塊必須能到達C點，
即 v_C²=v₀²-4gh，
所以 v₀²＞4gh，
因此初速度應滿足

4gh

＜v₀＜

6gh

．
（3）由（1）可知，落地點離拋出點的水平距離：
s=vt=

v 2 0 -2gy

2y g

=

-4y2+ 2 v 2 0 g y

=

-4(y- v 2 0 4g )2+ v 4 0 4g2

，
當y=

v 2 0

4g

，即h′=

v 2 0

4g

時，滑塊的水平射程最大，為s_max=

v 2 0

2g

；
答：（1）滑塊落到水平面時，落點與E點間的距離 s_C=

v 2 0 -4gh

4h g

，s_D=

v 2 0 -2gh

2h g

；
（2）初速度應滿足

4gh

＜v₀＜

6gh

．
（3）當h′=

v 2 0

4g

時，滑塊的水平射程最大為

v 2 0

2g

．

點評：整個過程中，物體的機械能守恒，離開C和D后物體做平拋運動，根據平拋運動的規律分析可以得出結論．