Question

A、B兩行星在同一平面內繞同一恒星做勻速圓周運動，運行方向相同，A的軌道半徑為r₁，B 的軌道半徑為r₂，已知恒星質量為M，恒星對行星的引力遠大于行星間的引力，兩行星的軌道半徑r₁<r₂.若在某一時刻兩行星相距最近，試求：
（1）再經過多長時間兩行星距離又最近？
（2）再經過多長時間兩行星距離最遠？

Answer 1

解：
（1）A、B兩行星在如圖所示的位置時距離最近，這時A、B兩行星與恒星在同一條圓半徑上.A、B運動方向相同．A 更靠近恒星，A的轉動角速度大、周期短如果經過時間t，A、B兩行星分別與恒星連線的半徑轉過的角度相差2π的整數倍，則A、B與恒星又位于同一條圓半徑上，兩行星距離又最近。
設A、B兩行星的角速度分別為ω₁、ω₂，經過時間t，A轉過的角度為ω₁t，B轉過的角度為ω₂t．A、B兩行星距離最近的條件是：ω₁t-ω₂t=n·2π （n=1，2，3，…），恒星對行星的引力提供向心力，則
，即
由此得出
求得；
（2）如果經過時間t'，A、B兩行星分別與恒星連線的半徑轉過的角度相差π的奇數倍，則A、B與恒星位于同一條直徑上，兩行星距離最遠．
如果經過時間t'，A、B轉過的角度相差π的奇數倍時，則 A、B相距最遠，即：
ω₁t'-ω₂t'=（2k-1）π （k=1，2，3，…），
得