Question

A、B兩行星在同一平面內繞同一恒星做勻速圓周運動，運行方向相同，A的軌道半徑為r1，B的軌道半徑為r2，已知恒星質量為，恒星對行星的引力遠大于得星間的引力，兩行星的軌道半徑r??1＜r2。若在某一時刻兩行星相距最近，試求：

（1）再經過多少時間兩行星距離又最近？

（2）再經過多少時間兩行星距離最遠？

Answer 1

（1）

（2）

解析:

（1）A、B兩行星如右圖所示位置時距離最近，這時A、B與恒星在同一條圓半徑上，A、B運動方向相同，A更靠近恒星，A的轉動角度大、周期短，如果經過時間t，A、B與恒星連線半徑轉過的角度相差2π的整數倍，則A、B與恒星又位于同一條圓半徑上，距離最近。

解：（1）設A、B的角速度分別為ω1、ω2，經過時間t，A轉過的角度為ω1t，B轉過的角度為ω2t。A、B距離最近的條件是：

ω1t-ω2t=。

恒星對行星的引力提供向心力，則：

，

由得得出：，，

求得：。

（2）如果經過時間，A、B轉過的角度相差π的奇數倍時，則A、B相距最遠，即

。

故。把ω1、ω2代入得：

點評：太陽系有九大行星，它們之間有相對運動，如要知道哈雷彗星下次光顧地球是什么時間，就要分析兩運動間的角速度關系，本題關鍵是正確寫出兩行星相距離最近和相距最遠的條件。