Question

如圖所示，粗糙的斜面AB下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，整個裝置豎直放置，C是最低點，圓心角∠BOC=37°，D與圓心O等高．圓弧軌道半徑R=0.5m，斜面長L=2M．現有一個質量m=0.1kg的小物體P從斜面AB上端A點無初速下滑，物體P與斜面AB之間的動摩擦因數為μ=0.25．求：
（1）物體P第一次通過C點時的速度大小和對C點處軌道的壓力各為多大？
（2）物體P第一次離開D點后在空中做豎直上拋運動，不計空氣阻力，則最高點E和D點之間的高度差為多大？
（3）物體P從空中又返回到圓軌道和斜面．多次反復，在整個運動過程中，物體P對C點處軌道的最小壓力為多大？（取g=10m/s²，）

Answer 1

分析：（1）由動能定理可求得物體在C點的速度，C點物體做圓周運動，則由牛頓第二定律充當向心力可求得支持力；
（2）從C到E由動能定理可求得AE的豎直高度，從而求出D到E的高度；
（3）由于摩擦力的作用，物體最后將在BC部分做圓周運動，

解答：（1）物體P從A下滑經B到C過程中根據動能定理：

1

2

mυ02-0=mg(Lsin37°+R-Rcos37°)-μmgLcos37°
υ0=

2g(Lsin37°+R-Rcos37°)-2μgLcos37°

=

18

m/s=4.24m/s
經C點時N0-mg=m

υ 2 0

R

Nc=mg+m

υ 2 c

R

=4.6N
根據牛頓第三定律，P對C點的壓力N′_c=N_c=4.6N
（2））從C到E機械能守恒

1

2

m

υ

2 c

=mg(R+hED)
E與D間高度差hED=-

υ 2 c

2g

-R=0.4m
（3）物體P最后在B與其等高的圓弧軌道上來回運動時，經C點壓力最小，由B到C根據機械能守恒mgR(1-cos37°)=

1

2

mυ

′

2 c

υc=

2gR(1-cos37°)

=

2

m/s
Ncz=mg+m

υ ′ 2 c

R

=0.1×10+0.1×

2

0.5

=1.4N
根據牛頓第三定律壓力N'c₂=Nc₂=1.4N
答：（1）速度大小為4.24m/s，壓力為4.6N．
（2）D到 E的高度為0.4m．
（3）最小壓力為1.4N．

點評：在考查力學問題時，常常將動能定理、機械能守恒及牛頓第二定律等綜合在一起進行考查，并且常常綜合平拋、圓周運動及勻變速直線運動等運動的形式．