Question

（2011?撫州模擬）如圖甲所示，半徑為r的金屬圓環水平放置，三條電阻均為R的導體棒Oa、Ob、和Oc互成120⁰角連接在圓心O和圓環上，圓環繞經過圓心O的豎直金屬轉軸以大小為ω的角速度按圖中箭頭方向勻速轉動．一方向豎直向下的勻強磁場區與圓環所在平面相交，相交區域為如圖虛線的菱形（頂角為60⁰的那個頂點位于O處、其它三個頂點在圓環外）．C為水平放置的平行板電容器，通過固定的電刷P和Q連接在圓環和金屬轉軸上，電容器極板長為L，兩極板的間距為d．現使一細電子束沿兩板間的中線以大小為v_O（v_O=

ωL

π

）的初速度連續不斷地射入電容器C．
（1）設磁感應強度為B，以導體棒Ob開始進入磁場為計時起點．請在乙圖坐標中畫出電刷P和Q間電壓U與時間t的關系圖象（至少畫出圓環轉動一周的圖象）
（2）已知電子電荷量為e，質量為m．忽略圓環的電阻、電容器的充放電時間及電子所受重力和阻力．欲使射入的電子全部都能通過電容器C，則勻強磁場的磁感應強度B的大小應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）當三根金屬棒中有一根切割磁感產生感應電動勢時，相當于電源，另外兩根棒并聯相當外電路，根據E=

1

2

Br2ω求出感應電動勢，由歐姆定律即可得到電刷P和Q間電壓U的表達式．從導體棒Ob開始進入磁場為計時起點，在一個周期內，電刷P和Q間有電壓和無電壓間隔出現，可作出U-t圖象．
（2）電子進入電容器C后，某一導體棒也開始進入磁場，電子電子做類平拋運動，在水平方向不受電場力而做勻速直線運動，在豎直方向受到電場力而做勻加速運動；在沒有電場的時間內豎直方向做勻速直線運動，根據牛頓第二定律和運動學公式結合求出電子在豎直方向的最大位移y，要使射入的電子全部都能通過電容器C，必須滿足的條件是y≤

d

2

，聯立可求出磁感應強度B的大小．

解答：解：（1）導體棒切割磁感線產生的感應電動勢大小為
  E=

1

2

Br2ω
通過此棒的電流為  I=

E

R+ 1 2 R

=

2

3

E
棒兩端的電壓為 U=I?

R

2

聯立以上三式得  U=

1

6

Bωr²
圓環轉動的周期為 T=

2π

ω

則電刷P和Q間電壓U與時間t的關系圖象如圖所示．
（2）電子在平行板電容器中運動的時間
     t=

L

v0

=

π

ω

=

T

2

所以，當電子開始進入平行板電容器中時，某一導體棒也開始進入磁場，這個電子在平行板電容器中運動的第一個和第三個

t

3

時間內豎直方向受到電場力而做勻加速運動；第二個

t

3

時間內豎直方向不受電場力而做勻速運動，這個電子在豎直方向上的位移最大．用y表示豎直位移
第一個

t

3

時間內    y1=

1

2

?

eU

md

(

t

3

)2=

π2eBr2

108mdω

第二個

t

3

時間內    y₂=2y₁
第三個

t

3

時間內 y₃=3y₁
豎直方向上的最大位移  y=y₁+y₂+y₃=

π2eBr2

18mdω

要使射入的電子全部都能通過電容器C，必須滿足y≤

d

2

解得       B≤

9md2ω

eπ2r2

答：
（1）電刷P和Q間電壓U與時間t的關系圖象如圖所示．
（2）勻強磁場的磁感應強度B的大小應滿足的條件是：B≤

9md2ω

eπ2r2

．

點評：本題是電磁感應與電路、電場知識的綜合，關鍵是根據牛頓第二定律和運動學公式求出電子在豎直方向的最大位移y，可以運用v_y-t圖象分析電子在豎直方向的運動情況，便于理解．