Question

【題目】保溫瓶的瓶膽為具有雙層薄壁的玻璃容器，其主要的散熱途徑有瓶膽夾層的熱傳導、熱輻射和瓶口處的少量氣體的逸出．考慮到制作瓶膽時的經濟效益，瓶膽夾層中有少量空氣殘留，殘留的氣體壓強為，但這少量的空氣殘留仍然是散熱中不可忽略的因素，因為空氣分子的熱運動使得空氣分子在瓶膽內、外壁間來回碰撞，并且因此導致熱交換．可以近似認為外壁溫度與室溫℃相同，內壁溫度與水溫相同．氣體分子的平均速率，作為近似，氣體的溫度取平均溫度．由麥克斯韋分布律可導出，若容器壁上開一小孔，則單位時間單位面積逸出的分子個數為，式中為氣體分子的數密度．又知瓶膽內外壁的面積近似相等，均為，內外壁的發射率均為，瓶膽容積．空氣摩爾質量，水的比熱容．假設瓶塞處的氣體泄漏所攜帶的熱量只與瓶口處的密封性以及水溫有關．現在在保溫瓶中灌滿100℃的開水，后測得水溫℃，由此估計一天以后水溫可能下降到不足60℃，因此保溫瓶的效果并不理想，于是，有人提出了一些改進方案，其改進方案主要包括以下三點：

(1)提高瓶口處的密封性，使瓶口處的散熱速率降低60％．

(2)提升制造工藝，將瓶膽夾層中的空氣進一步抽空，使氣壓降至

(3)在保持容積不變的前提下，改變瓶膽形狀，盡可能地減小瓶膽的表面積，以最大限度地減少散熱（這些改變不會改變前面描述的瓶膽夾層的那些性質）

如果現在真的能實現這一改進方案，我們仍在改進后制作的保溫瓶中灌滿100℃的開水，問：后水溫為多少？（結果保留三位有效數字）

Answer 1

【答案】℃

【解析】

由于夾層中的氣體很稀薄，可以認為分子間的碰撞很少，分子幾乎無阻礙地在內外壁間來回運動，可以認為分子與瓶膽壁接觸后便具有與壁相同的溫度．因此分子每次與器壁碰撞所交換的熱量．

由題意可知單位時間內與器壁碰撞的分子總數

所以由于瓶膽夾層的熱傳導導致的熱損耗功率

由于瓶膽內外壁間熱輻射導致的熱損耗功率

而散熱的總功率

因此瓶口處散熱功率

考慮新保溫瓶的瓶膽內外壁的面積的極限情況，即瓶膽為球狀，則其表面積為

所以，

因此后的水溫滿足

所以，℃