Question

（2008?濟寧模擬）據中國月球探測計劃的有關負責人披露，如果順利實現把宇航員送入太空的目標，中國可望在2010年以前完成首次月球探測．“神舟七號”載人飛船的成功為我國實現探月計劃--“嫦娥工程”又一次積累了寶貴經驗．假設月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道I運動，到達軌道的A點點火變軌進入橢圓軌道II，到達軌道的近月點B再次點火進入月球近月軌道III繞月球作圓周運動．求：
（1）飛船在軌道I上的運行速率．
（2）飛船在A點處點火時，動能如何變化？
（3）飛船在軌道III繞月球運行一周所需的時間．

Answer 1

分析：（1）主要考查圓周運動中向心力公式和萬有引力公式的變換，通過聯立多項公式獲得運行速率和常量的關系；
（2）當萬有引力剛好提供衛星所需向心力時 衛星正好可以做勻速圓周運動，若是供大于需 則衛星做逐漸靠近圓心的運動，若是供小于需則衛星做逐漸遠離圓心的運動．
（3）近月軌道可看做繞轉半徑為月球半徑的圓周，運用圓周運動規律即可解決．

解答：解：（1）設月球的質量為M，飛船的質量為m，
據萬有引力充當向心力得  
G

Mm

(4R)2

=m

v2

4R

據月球表面重力等于萬有引力得 G

mM

R2

=mg0，
解得v=

1

2

g0R

（2）飛船在半徑為4R的圓形軌道Ⅰ運動，到達軌道的A點時點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ是做逐漸靠近地心的運動，要實現這個運動必須萬有引力大于飛船所需向心力，所以應給飛船減速，減小所需的向心力．
所以飛船在A點處點火時動能減小．                                                 
（3）設飛船在軌道III繞月球運行一周所需的時間為T，此時重力充當向心力
則mg0=m(

2π

T

)2R
∴T=2π

R g0

答：（1）飛船在軌道I上的運行速率是

1

2

g0R

．
（2）飛船在A點處點火時動能減小．
（3）飛船在軌道III繞月球運行一周所需的時間是2π

R g0

．

點評：主要考查圓周運動中各種向心力公式的變換．注意題設條件的完整性．為中檔題