Question

【題目】開普勒第三定律指出：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。該定律對(duì)一切具有中心天體的引力系統(tǒng)都成立。如圖，嫦娥三號(hào)探月衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道Ⅰ上繞月球運(yùn)行，周期為T。月球的半徑為R，引力常量為G。某時(shí)刻嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在A點(diǎn)變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，在月球表面的B點(diǎn)著陸。A、O、B三點(diǎn)在一條直線上。求：

（1）月球的密度；

（2）在軌道Ⅱ上運(yùn)行的時(shí)間。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

本題考查中心天體質(zhì)量和密度的計(jì)算及開普勒第三定律的應(yīng)用。

(1)設(shè)月球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，對(duì)衛(wèi)星受力分析可得

月球的密度

聯(lián)立解得：

(2)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸

設(shè)橢圓軌道上運(yùn)行周期為T1，由開普勒第三定律得

衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運(yùn)行的時(shí)間

聯(lián)立解得： 。