Question

如圖13-1所示，物體A從高h的P處沿光滑曲面從靜止開始下滑，物體B用長為L的細繩豎直懸掛在O點且剛和平面上Q點接觸。已知mA=mB，高h及S(平面部分長)。若A和B碰撞時無能量損失。

小題1:(1)若L≤h/4，碰后A、B各將做什么運動?
小題2:(2)若L=h，且A與平面的動摩擦因數為μ，A、B可能碰撞幾次？A最終在何處？

Answer 1

小題1:A與B碰后，B必做圓周運動。因此(1)的解為：A與B碰后A停在Q處，B做圓周運動，經一周后，B再次與A相碰，B停在Q處，A向右以速度做勻速直線運動。
小題2:(2)由上面分析可知，當L=h時，A與B碰后，B只做擺動，因水平面粗糙，所以A在來回運動過程中動能要損失。設碰撞次數為n，由動能定理可得：
　　 m_Agh-nμm_AgS="0" 所以n=h/μS
討論：若n為非整數時，相碰次數應湊足整數數目。
　　 如n=1.2，則碰撞次數為兩次。
當n為奇數時，相碰次數為(n-1)次。如n=3，則相碰次數為兩次，且A球剛到達Q處將碰B而又未碰B；
當n為偶數時，相碰次數就是該偶數的數值，如n=4，則相碰次數為四次。球將停在距B球S處的C點。A球停留位置如圖13-2所示

當水平部分沒有摩擦時，A球下滑到未碰B球前能量守恒，與B碰撞因無能量損失，而且質量相等，由動量守恒和能量守恒可得兩球交換速度。A 停在Q處，B碰后可能做擺動，也可能饒 O點在豎直平面內做圓周運動。如果做擺動，則經一段時間，B反向與A相碰，使A又回到原來高度，B停在Q處，以后重復以上過程，如此繼續下去，若B做圓周運動，B逆時針以O為圓心轉一周后與A相碰，B停在Q處，A向右做勻速運動。由此分析，我們可得本題的解如下：

小題1:(1)A與B碰撞前A的速度：mgh=mV_A²，V_A=
因為m_A=m_B，碰撞無能量損失，兩球交換速度，得：V_A’=0，V_B’=V_A=
設B球到最高點的速度為Vc，B做圓周運動的臨界條件：m_Bg=m_BV²/L [1]
又因m_BV_B‘²=m_BV²+m_Bg2L [2]
將[1]式及V_B’=代入[2]式得：L=2h/5
即L≤2h/5時，A、B碰后B才可能做圓周運動。而題意為L=h/4＜2h/5，故A與B碰后，B必做圓周運動。因此(1)的解為：A與B碰后A停在Q處，B做圓周運動，經一周后，B再次與A相碰，B停在Q處，A向右以速度做勻速直線運動。
小題2:(2)由上面分析可知，當L=h時，A與B碰后，B只做擺動，因水平面粗糙，所以A在來回運動過程中動能要損失。設碰撞次數為n，由動能定理可得：
　　 m_Agh-nμm_AgS="0" 所以n=h/μS
討論：若n為非整數時，相碰次數應湊足整數數目。
　　 如n=1.2，則碰撞次數為兩次。
當n為奇數時，相碰次數為(n-1)次。如n=3，則相碰次數為兩次，且A球剛到達Q處將碰B而又未碰B；
當n為偶數時，相碰次數就是該偶數的數值，如n=4，則相碰次數為四次。球將停在距B球S處的C點。A球停留位置如圖13-2所示