Question

【題目】12. 如甲圖所示，xOy平面位于豎直面內，勻強磁場垂直于xOy平面向里，磁感應強度大小為B。一質量為m，帶電量為q（q＞0）的微粒從坐標原點O處垂直磁場射入，微粒的運動軌跡由初速度的大小和方向決定。

(1)若微粒的運動軌跡為直線，那么微粒的初速度大小是多少，方向又如何？

(2)若微粒的重力很小可忽略，微粒做周期性運動，其運動周期是多少？

(3)若微粒的重力不可忽略，且射入速度不同于第（1）題，那么其運動軌跡為如圖乙所示的周期性曲線（畫出不同初速度條件下的多條運動軌跡）。從運動的合成與分解角度而言，一個復雜的曲線運動可以分解為正交兩個方向的直線運動，即化曲為直的方法；也可以分解為一個直線運動和一個圓周運動，即化曲為直與化曲為圓結合方法。試著運用運動的合成與分解求解下列問題。

a.粒子在一個時間周期內，沿x軸方向前進的空間周期S；

b.以初速度v0沿x軸方向射入時，其y-t圖象如圖乙所示，寫出y-t的函數表達式。

Answer 1

【答案】（1），沿x軸正方向；（2）；（3）（a）,（b）。

【解析】

（1）微粒的運動軌跡是直線時，微粒做勻速直線運動，洛倫茲力與重力是一對平衡力，即有

所以，初速度大小為

方向沿x軸正方向。

（2）微粒的重力很小可忽略時，微粒做勻速圓周運動，即有

于是解得：時間周期

。

（3）在坐標原點O處對帶電粒子進行受力分析，受到沿y軸負方向的重力

和y軸正方向的洛倫茲力

當時，帶電粒子做周期性曲線運動。為了把曲線運動分解為勻速圓周運動和勻速直線運動兩種最簡單的運動形式，構造一對平衡洛倫茲力，它們分別沿y軸正、負方向，大小等于

其中。重新組合，沿y軸正方向的與G重新構成一對平衡力，沿y軸負方向的與f0構成合洛倫茲力

其中

那么，曲線運動分解為以速度v1向右的勻速直線運動和由洛倫茲力提供向心力的勻速圓周運動。這兩個分運動之間相互獨立，互不影響，但是具有同時性。

（a）綜上處理與分析，由運動合成與分解原理可知，周期性曲線運動的時間周期T由勻速圓周運動這一分運動決定， x軸方向上的空間周期與勻速直線運動有關，即空間周期

（b）坐標y隨時間的關系由勻速圓周分運動決定，其角速度

t時刻轉過的角度為

圓周運動半徑

由幾何關系知

即：