Question

【題目】如圖所示，在光滑的水平地面上的左端連接一光滑的半徑為R的1/4圓形固定軌道BC，并且水平面與圓形軌道相切與C點，在水平面內有一質量M=2m的小球Q連接著輕質彈簧處于靜止狀態(tài)，現有一質量為m的小球P從B點正上方h=2R高處由靜止釋放，小球P和小球Q大小相同，均可視為質點，重力加速度為g．

（1）求小球P到達圓弧軌道最低點C時的速度大小和對軌道的壓力；

（2）求在小球P壓縮彈簧的過程中，彈簧具有的最大彈性勢能；

（3）若小球P從B點上方高H處釋放第一次經過C點后，立即將BC換成半徑也為R的固定的光滑3/4圓弧軌道CBD，與水平面仍相切于C點，求為使P球經彈簧反彈后經軌道CBD過程中不脫離軌道，H應滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1）7mg（2）2mgR（3）或

【解析】

（1）小球P從A點運動到C點的過程中有機械能守恒：

又

得.

在最低點C處由牛頓第二定律得：

解得：.

由牛頓第三定律小球對軌道的壓力大小，方向向下。

（2）當P、Q兩球速度相等時，彈簧具有的彈性勢能最大，令共同速度為v，由P、Q兩球系統(tǒng)動量守恒得：.

根據機械能守恒定律：.

由以上關系得

（3）小球從P點上方高為H處釋放，到達水平面的速度為v0

由

彈簧被壓縮后再次回復原長時設小球P和Ｑ的速度大小分別為v１和v２則根據動量守恒定律有：

根據機械能守恒定律有：

由以上關系得得 .

若小球不脫離軌道有：

i.小球到達B點錢速度就減為0符合題意，令小球到達B點時速度恰好為0

即

由以上關系得：H=8R

ii.小球完成圓周運動符合題意，令小球到達最高點D的速度恰好為，且

由以上關系得：H=21.5R

所以當或時滿足題意。