Question

【題目】如圖所示，在豎直平面內，粗糙的斜面軌道AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，C是最低點，圓心角∠BOC＝37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑R＝1.0 m，現有一個質量為m＝0.2 kg可視為質點的小物體，從D點的正上方E點處自由下落，DE距離h＝1.6 m，小物體與斜面AB之間的動摩擦因數μ＝0.5，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求：

(1)小物體第一次通過C點時軌道對小物體的支持力FN的大小；

(2)要使小物體不從斜面頂端飛出，斜面的長度LAB至少要多長；

(3)若斜面已經滿足(2)要求，小物體從E點開始下落，直至最后沿光滑圓弧軌道做周期性運動，在此過程中系統因摩擦所產生的熱量Q的大小．

Answer 1

【答案】(1)12.4 N (2)2.4 m (3)4.8 J

【解析】(1)小物體從E到C，由能量守恒得：

mg(h＋R)＝①

在C點，由牛頓第二定律得：FN－mg＝②

聯立①②解得FN＝12.4 N

(2)從E→D→C→B→A過程，由動能定理得

WG－Wf＝0，③

WG＝mg[(h＋Rcos37°)－LABsin37°]④

Wf＝μmgLABcos37°⑤

聯立③④⑤解得LAB＝2.4 m

(3)因為mgsin37°>μmgcos37°(或μ<tan37°)，

所以，小物體不會停在斜面上，小物體最后以C為中心，B為一側最高點沿圓弧軌道做往返運動，

從E點開始直至運動穩定，系統因摩擦所產生的熱量，

Q＝ΔEp⑥

ΔEp＝mg(h＋Rcos37°)⑦

聯立⑥⑦解得Q＝4.8 J.