Question

【題目】某同學設計了一個如圖所示的游樂模型，高度為R的豎直圓筒軌道銜接一個半徑為2R的四分之一圓形內軌，在圓筒的底部安裝一個由高強度彈簧構成的彈射裝置，此裝置在很短的時間內能把安全囊(包括在里面的游人)以一定的速度彈出，使安全囊從圓內軌的最高點P水平飛出，接著飛入如圖所示的緩沖裝置。安全囊質量為m(當作質點)，緩沖裝置的縱截面可以看作由兩個斜面AB、CD和一段光滑圓弧BC組成，安全囊與斜面間的動摩擦因數為0.25，兩斜面的傾角θ均為37°，AB＝CD＝2R，A、D等高，D端固定一小擋板，與其碰撞不損失機械能。安全囊始終在同一個豎直平面內運動，重力加速度為g，圓筒軌道和圓形內軌均不計摩擦，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

(1)如果安全囊恰好能經P點飛出，且恰好沿AB斜面進入緩沖裝置，應調節緩沖裝置底部支架高度使斜面的A點（D點）距地面的高度為多少？

(2)接(1)問，假設高強度彈簧構成的彈射裝置行程很小，可以認為是零，即安全囊離開地面時的起點高度近似為零，則彈射裝置至少需要具有多少彈性勢能？

(3)接(1)問，試通過計算描述安全囊進入緩沖裝置后的運動過程．

Answer 1

【答案】(1)R　(2)4mgR　(3)略

【解析】（1）在P點安全囊只受到重力的作用，重力恰好提供向心力，則：

得P點的速度：
安全囊到達A時速度的方向沿沿AB的方向，則：vy＝vptanθ＝0.75
所以A、D點距離對面的高度：；
（2）在P點安全囊的機械能為：E=EP+EK=mvP2+mg3R=4mgR
由機械能守恒定律即知彈簧的彈性勢能：E彈=4mgR

（3）在A點時安全囊的速度

假設經過一個來回能夠回到A點，設再次回到A點時的動能為E′k

則E′k＝mv2－μmgcos θ·8R<0

所以安全囊不會滑到A而飛出，最終在B、C間來回滑動