Question

【題目】在研究跳水運動員在水中所受阻力的情況以及設計跳水場地水池深度時，可以用金屬和橡膠制作一個運動員模型，在它頭部攜帶有壓力傳感器，模型入水后傳感器可通過計算機顯示出水對模型的等效阻力f的量值隨其入水的深度y變化的函數曲線。己知這個模型的總質量m=60kg，并可將其視為長度l=1.65m、直徑d=0.25m的圓柱體。這個模型頭向下從高于水面H=10m的跳臺自由落下入水后，計算機上顯示出的f-y變化曲線如圖所示。通過用計算機擬合圖線可知，該曲線可近似看作橢圓的一部分，該橢圓的長、短軸分別與坐標軸Oy和Of辦重合。橢圓與y軸相交于y=h處，與f軸交于 處。為了確保運動員跳水時的安全，估算水池中水的深度h至少應等于多少？

Answer 1

【答案】4.8m

【解析】

運動員的運動可分為三個過程（如圖所示）：

A→B運動員僅受重力mg（恒力）作用，做自由落體運動。該過程中重力做正功，初始速度vA=0。

B→C運動員剛接觸水面到全身浸入水中，受重力mg（恒力，做正功），阻力f（變力，做負功）

和浮力F2（變力，做負功）的作用，所受阻力和浮力都隨著人體入水深度的增加而變化。

C→D運動員全身浸入水中到剛接觸水池底面，受重力mg（恒力，做正功），阻力f（變力，做負功），浮力F2（恒力，做負功）的作用。

依題意，為保證運動員的安全，水池中水的最小深度為h，意為運動員接觸水池底面時速度為零，即vD=0。

根據上面分析，對運動員運動的整個ABCD過程，由動能定理得：

WG+WF1+WF2+Wf=△Ek=0

其中，WG為重力的功：

WG=mg（H+h）

WF2為浮力F2的功：

為浮力F1的功，Wf為阻力f的功。浮力F1和阻力f均為變力，它們的功可用圖象法求解。

對B→C過程，以運動員入水時的位置為零點，豎直向下為正方向建立oy坐標如圖所示。

當人體入水深度為y時，

F1=－gSy，

S為圓柱體截面積。浮力F1隨運動員入水深度y的變化關系如圖所示。

F1做功的量值等于上圖曲線下的面積

同理，由圖象法求得：

聯立上述方程，并代入數據得：