Question

如圖所示直角坐標系xOy的第二象限中有一平行x軸放置的平行板電容器ab，其中b板置于x軸，兩板間距d=2m，板間電壓U_ab=2×10²V，板間有一方向垂直于xOy平面向里的勻強磁場，磁感應強度B₁=1T．第一象限中存在一方向垂直xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度B₂=0.5T．第四象限中有方向與x軸成θ=60°斜向左上方的勻強電場，電場強度E=100N/C．一個質量m=2.0×10^-12kg、帶電荷量q=2.0×10^-10C的正離子（不計重力）從ab兩板中央P點以某一水平速度υ射入平行板電容器ab，恰好沿水平方向做直線運動并垂直y軸進入第一象限的勻強磁場中．求：
（1）正離子速度υ的大小；
（2）正離子第一次經過x軸的位置；
（3）正離子從進入第一象限開始到第三次經過x軸的時間t．

Answer 1

分析：（1）恰好沿水平方向做直線運動說明粒子的洛倫茲力和電場力等大反向，根據平衡條件列方程求速度υ的大小；
（2）根據牛頓第二定律求出粒子在第一象限磁場中的半徑，作出軌跡，由幾何知識求正離子第一次經過x軸的位置；
（3）作出離子的運動軌跡，從進入第一象限開始到第三次經過x軸的時間t為各階段運動的時間之和．

解答：解：（1）恰好沿水平方向做直線運動，根據平衡條件：qvB=qE
得：v=

E

B

又E=

Uab

d

得：v=

200

1×2

=100m/s
（2）離子進入磁場后，洛倫茲力提供向心力：qvB₂=m

v2

r

得：r=

mv

qB2

=

2.0×10-12×100

2.0×10-10×0.5

=2m
則粒子在磁場中勻速圓周運動的軌跡如圖：

設粒子第一次在磁場中做圓周的圓心角為θ₁，則cosθ₁=

1

2

，θ₁=60°
由幾何知識知第一次經過x軸的位置為

3

m，坐標：（

3

m，0）；
（3）則粒子進入電場時的速度方向與電場力方向平行，粒子先做勻減速直線運動后反向加速度回到x軸，然后接著做勻速圓周運動，
在電場中運動的時間為：t₂=2?

v

a

又a=

qE

m

=

2×10-10×100

2×10-12

=10⁴m/s²
得：t₂=

2v

a

=

2×100

10-4

=0.02s
粒子在磁場中做圓周運動的周期為：T=

2πm

qB2

=

2π×2.0×10-12

2.0×10-10×0.5

=0.04πs
則做圓周的時間為：t₁+t₃=

1

6

T+

2

3

T=

5

6

T=

5

6

×0.04π≈0.1s
則正離子從進入第一象限開始到第三次經過x軸的時間為：t=t₁+t₂+t₃=0.02+0.1=0.12s
答：（1）正離子速度υ的大小為100m/s；
（2）正離子第一次經過x軸的位置：（

3

m，0）；
（3）正離子從進入第一象限開始到第三次經過x軸的時間t為0.12s．

點評：本題的解題關鍵是準確畫出粒子運動的基礎上，根據幾何知識得到粒子進入電場時的速度方向，由運動學公式和在磁場中運動的周期公式求各階段的運動時間．