Question

如圖AB和CD是兩根特制的、完全相同的電阻絲，豎直地固定在地面上，上端用電阻不計的導線相接，兩電阻絲間距為L，有一根質量為m、電阻不計的金屬棒，跨在AC兩點間處于x軸原點，與電阻絲接觸良好且無摩擦，空間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，放開金屬棒，它將加速下滑。求：

（1）若電阻絲的電阻值跟位移x的平方根成正比，即R＝（k為一常數），試用假設法證明棒開始下落后是做勻加速運動。

（2）在棒做勻加速直線運動時若L＝1 m，B=1 T，m＝ kg，k= Ωm，求①棒下落的加速度a；②棒下落1米位移過程中電阻上的電功W。

Answer 1

解：（1）棒從靜止釋放后受重力而加速下落，速度v增大，棒切割磁感線產生的電動勢E=BLv增大，但連入電路中的電阻長度也增大，故電路中電阻增大，因而電路中的電流及安培力的變化不便簡單判定；對棒下落中的任一時刻將有

mg－=ma即mg－=ma

①假設棒ab做勻速直線運動，則棒運動的加速度a=0，即mg=，式中B、L、v、m、k均為定值，故位移x必為定值；但由于是棒的向下勻速運動將使位移x=vt隨時間而變化，故三者矛盾而說明不可能做勻速直線運動。

②假設棒做加速度增大的加速下落運動；由前知必有減小，故棒的加速度最終將增大為a=g，此時必有=0，由于B、L、x均不為0且k為常數，故有當棒的加速度a=g時棒的速度v=0；但由于棒運動中a、v同向，故棒的速度將來不斷增大；二者矛盾而說明棒不可能做加速度增大的加速直線運動。

③假設棒做加速度減小的加速下落運動：必有增大，故棒的加速度最終將減小為a=0時棒以mg=得v=而勻速直線運動；但由于棒運動中x將不斷增大而使棒速度變化；故二者矛盾而說明棒不可能做加速度減小的加速直線運動。

④由此可見：導體棒必做勻加速直線下落。

（2）①將數據代入mg－=ma得a=10－  （A）；

再因棒勻加速運動故有v=  （B），

將（B）式代入（A）有a=10－=10－，

解之得棒的加速度為a=1.855 m/s²。

②棒下落中電路中電阻相應增大，因而其消耗的電能應當從能量的轉化與守恒定律得出：=mgx-E_R,v²=2ax即max=mgx-E_R，則E_R=mx(g－a)

故此過程中電阻上的電功為E_R=1×1×(10－1.855) J=8.145 J。