Question

（14分）如圖AB和CD是兩根特制的、完全相同的電阻絲，豎直地固定在地面上，上端用電阻不計的導線相接，兩電阻絲間距為L，有一根質量為m、電阻不計的金屬棒，跨在AC兩點間處于x軸原點，與電阻絲接觸良好且無摩擦，空間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，放開金屬棒，它將加速下滑。求：

（1）電阻絲的電阻值應跟位移x的平方根成正比，即R＝k（k為一常數）試用假設法證明棒開始下落后是做勻加速運動。

（2）在棒做勻加速直線時若L＝1 m，B=1T，m＝kg，。則

①棒下落的加速度a；

② 棒下落1米位移過程式中電阻上的電功W。

Answer 1

解析：

（1）（6分）棒從靜止釋放后受重力而加速度下落，速度增大，棒切割磁感線產生的電動勢增大，但連入電路中的電阻長度也增大故電路中電阻增大，因而電路中的電流及安培力的變化不便簡單判定；對棒下落中的任一時刻將有

即

①假設棒ab作勻速直線運動；則棒運動的加速度a=0，即式中B、L、V、m、k均為定值故位移x必定值；但由于是棒的向下勻速運動將使位移隨時間而變化：故三者矛盾而說明不可能羅勻速直線運動。

②假設棒作加速度增大的加速下落；由前知必有減小，故棒的加速度最終將增大為，此時必有，由于B、L、x均不為0且k為常數，故表有當棒的加速度時棒的速度v=0；但由于棒運動中同向故棒的速度將來斷增大；二者矛盾而說明棒不可能作加速度增大的加速直線運動。

③假設棒作加速度減小的加速下落：必有增大，故棒的加速度最終將減小為時棒以得而勻速直線運動；但由于棒運動中x將來斷增大而使棒速度變化；故二者矛盾而說明棒不可能作加速度減小的加速直線運動。④由此可見：導體棒必作勻加速直線下落。

（2）①將數據代入得    （A）

再因棒勻加速運動故有      （B）

將（B）式代入（A）有

解之得棒的加速度為 

②棒下落中電路中電阻相應增大，因而其消耗的電能應當從能量的轉化與守恒定律得出：即，則

故此過程中電阻上的電功為