Question

如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的兩光滑圓軌道固定在同一豎直平面內，兩軌道之間由一光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上有一輕彈簧被a、b兩個小球夾住，但不拴接．已舸a，b的質量分別為m_a和m_b且m_a=2m_b，同時釋放兩小球，a、b兩球都能通過各自軌道的最高點，則彈簧在釋放前至少應具有多大的彈性勢能？

Answer 1

分析：由動量守恒定律得出兩球分離后的速度關系．碰后，兩球從最低點到最高點的過程，根據機械能守恒定律列出等式，再根據牛頓第二定律得出最高點的速度，再對彈簧釋放過程，運用機械能守恒定律求解．

解答：解：兩小球分離過程中動量守恒：m_av_a+m_bv_b=0…①
  v_b=-2v_a
兩小球從分離到最高點的過程中：-mag?2R=

1

2

mv

′

2 a

-

1

2

m

v

2 a

…②
 -mbg?2r=

1

2

mv

′

2 b

-

1

2

m

v

2 b

兩小球通過最高點時：Fa+mag=ma

v ′ 2 a

R

…③
 Fb+mbg=mb

v ′ 2 b

r

小球能通過最高點：v′a≥

gR

…④
 v′b≥

gr

因為R＞r．v_b＞v_a，所以只要a球能通過最高點，b球一定能通過最高點．
彈簧的最小彈性勢能：EP=

1

2

ma

v

2 am

+

1

2

mb

v

2 bm

 EP=

15

2

magR=15mbgR…⑥
答：彈簧在釋放前至少應具有15m_bgR的彈性勢能．

點評：解決該題關鍵能判斷出小球能通過最高點的條件，然后根據動量守恒定律和機械能守恒定律聯立列式求解．