Question

如圖，傾角為θ質量為2m的斜面體放在水平面上，質量為m的物塊位于斜面上，不計一切摩擦，給斜面體加一水平向左的推力．求：
（1）當斜面體靜止，物塊在斜面體上自由下滑時，需要加的水平推力F的大小；
（2）當物塊和斜面體相對靜止一起沿水平面運動時，需要加的水平推力F的大小．
（3）求（1）、（2）兩種情況下物塊對斜面體的壓力之比．

Answer 1

（1）當斜面體靜止，物塊在斜面體上自由下滑時，以物快為研究對象，受重力和斜面體的彈力N₁．
則有：N₁=mgcosθ
再以斜面體為研究對象，受重力、推力、地面對斜面體向上的彈力和物快對斜面體寫詳細的彈力（據牛頓第三定律知N₁與N'₁作用力和反作用力），如圖所示．
由于斜面體靜止，故斜面體所受的合外力為零，
所以F=N'sinθ=mgsinθcosθ；
（2）物塊和斜面體相對靜止一起沿水平面運動時，二者具有共同的加速度．取整體為研究對象，水平方向應用牛頓第二定律，有F=（2m+m）a
隔離出物快，其受力示意圖如圖，N=

mg

cosθ

根據牛頓第二定律，則有mgtanθ=ma
解得a=gtanθ
聯立求解F=（2m+m）a=3mgtanθ
（3）由以上可知兩種情況下物塊與斜面體的彈力分別為mgcosθ和

mg

cosθ

，
據牛頓第三定律得：兩種情況下物塊對斜面體的壓力分別為mgcosθ和

mg

cosθ

，
所以兩種情況下物塊對斜面體的壓力之比為cos²θ
答：（1）當斜面體靜止，物塊在斜面體上自由下滑時，需要加的水平推力F的大小mgsinθcosθ；
（2）當物塊和斜面體相對靜止一起沿水平面運動時，水平推力F的大小3mgtanθ
（3）求（1）、（2）兩種情況下物塊對斜面體的壓力之比cos²θ