Question

【題目】如圖，在豎直平面內由 圓弧AB和 圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接。AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為 。一小球在A點正上方與A相距 處由靜止開始自由下落，經A點沿圓弧軌道運動。

（1）求小球在B、A兩點的動能之比；
（2）通過計算判斷小球能否沿軌道運動到C點。

Answer 1

【答案】
（1）

解：設小球的質量為m，小球在A點的動能為 ，由機械能守恒可得 ①

設小球在B點的動能為 ，同理有 ②

由①②聯立可得 ③

答：小球在B、A兩點的動能之比為

（2）

解：若小球能沿軌道運動到C點，小球在C點所受軌道的正壓力N應滿足 ④

設小球在C點的速度大小為 ，根據牛頓運動定律和向心加速度公式有 ⑤

聯立④⑤可得 ⑥

根據機械能守恒可得 ⑦

根據⑥⑦可知，小球恰好可以沿軌道運動到C點

答：小球恰好可以沿軌道運動到C點

【解析】（1）根據機械能守恒定律分別求出小球經過B點和A點的動能，再得到它們的比值．（2）假設小球能到達C點，由機械能守恒定律求出小球到達C點的速度，與臨界速度比較，即可判斷小球能否到C點．
【考點精析】掌握機械能守恒及其條件和機械能綜合應用是解答本題的根本，需要知道在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動能和重力勢能（及彈性勢能）發生相互轉化，但機械能的總量保持不變；系統初態的總機械能E 1 等于末態的總機械能E 2 ，即E1 =E2；系統減少的總重力勢能ΔE P減 等于系統增加的總動能ΔE K增 ，即ΔE P減 =ΔE K增；若系統只有A、