Question

如圖所示，質量m=1.0kg的小物塊從P點隨傳送帶運動到A點后，以v₁=3m/s的速度被水平拋出．小物塊恰好無碰撞地沿圓弧切線從B點進入豎直光滑圓弧軌道下滑．已知圓弧半徑R=1.0m，B、C為圓弧的兩端點，其連線水平，軌道最低點為O，A點距水平面的高度h=0.80m．試求：（取sin53°=0.8，cos53°=0.6）

（1）小物塊落到B點時的速度大小v₂；   弧BOC對應的圓心角θ的大小
（2）小物塊經過O點時，速度大小v₃，軌道對它的支持力大小F_N；
（3）若小物塊離開C點后恰能無碰撞地沿固定斜面向上運動，0.8s后經過D點，物塊與斜面間的動摩擦因數為μ₁=

1

3

．求斜面上CD間的距離S_CD．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理得出小物塊到達B點的速度，將B點的速度分解，根據平行四邊形定則得出速度與水平方向的夾角，從而通過幾何關系求出弧BOC對應的圓心角θ的大小．
（2）對B到O段運用動能定理求出物塊到達O點的速度，根據牛頓第二定律求出支持力的大小．
（3）根據牛頓第二定律求出物體在斜面上的加速度，結合位移時間公式求出CD間的距離．

解答：解：（1）根據動能定理得，mgh=

1

2

mv22-

1

2

mv12
代入數據解得v₂=5m/s．
設B點的速度與水平方向的夾角為α，則cosα=

v1

v2

=0.6
解得α=53°
根據幾何關系有：弧BOC對應的圓心角θ=106°．
（2）對B到O段運用動能定理得，mgR（1-cosα）=

1

2

mv32-

1

2

mv22
代入數據解得v₃=

33

m/s．
根據牛頓第二定律得，FN-mg=m

v32

R

代入數據解得F_N=43N．
（3）由幾何關系知，斜面的傾角為53°，根據牛頓第二定律得，
物塊向上滑動的加速度大小a=

mgsin53°+μmgcos53°

m

=gsin53°+μgcos53°=10×0.8+

1

3

×10×0.6=10m/s²．
根據機械能守恒得，物塊在C點上滑的速度v=5m/s．
則x=vt-

1

2

at2=5×0.8-

1

2

×10×0.64m=0.8m．
答：（1）小物塊落到B點時的速度大小v₂為5m/s，弧BOC對應的圓心角θ的大小為106°．
（2）小物塊經過O點時，速度大小為

33

m/s，軌道對它的支持力大小為43N．
（3）斜面上CD間的距離為0.8m．

點評：本題涉及到平拋運動、圓周運動、勻減速直線運動，是個多過程問題，知道平拋運動的規律以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵．