Question

【題目】從宏觀現象中總結出來的經典物理學規律不一定都能適用于微觀體系。但是在某些問題中利用經典物理學規律也能得到與實際比較相符合的結論。根據玻爾的氫原子模型，電子的運動看做經典力學描述下的軌道運動，原子中的電子在庫侖力作用下，繞原子核做圓周運動。已知電子質量為m，電荷量為e，靜電力常量為k。氫原子處于基態（n=1）時電子的軌道半徑為r1，電勢能為（取無窮遠處電勢能為零)。第n個能級的軌道半徑為rn，已知rn=n2 r1，氫原子的能量等于電子繞原子核運動的動能、電子與原子核系統的電勢能的總和。

（1）求氫原子處于基態時，電子繞原子核運動的速度；

（2）證明：氫原子處于第n個能級的能量為基態能量的（n=1，2，3，…）；

（3）1885年，巴爾末對當時已知的在可見光區的四條譜線做了分析，發現這些譜線的波長能夠用一個公式表示，這個公式寫做，n = 3，4，5，…。式中R叫做里德伯常量，這個公式稱為巴爾末公式。已知氫原子基態的能量為E1，用h表示普朗克常量，c表示真空中的光速， 求：

a．里德伯常量R的表達式；

b．氫原子光譜巴爾末系最小波長與最大波長之比。

Answer 1

【答案】（1） （2）設電子在第1軌道上運動的速度大小為v1，根據牛頓第二定律有，電子在第1軌道運動的動能，電子在第1軌道運動時氫原子的能量，同理，電子在第n軌道運動時氫原子的能量，又因為，則有 ，命題得證。（3）a： b：5:9

【解析】

（1）電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運動

根據牛頓第二定律有

則有

（2）設電子在第1軌道上運動的速度大小為v1，根據牛頓第二定律有

電子在第1軌道運動的動能

電子在第1軌道運動時氫原子的能量

同理，電子在第n軌道運動時氫原子的能量，又因為

則有 ，命題得證。

（3）a：從n能級向2能級躍遷放出光的波長為

由 代入得：

b：由可知當n=3時波長最大，當n=∞時波長最小

代入可得，最小波長與最大波長之比為5:9。