Question

【題目】如圖所示，質量為m可看作質點的小球從靜止開始沿斜面由A點滑到B點后，進入與斜面圓滑連接的 豎直圓弧管道 ，管道出口為C，圓弧半徑R=15cm，AB的豎直高度差h=35cm．在緊靠出口C處，有一水平放置且繞其水平軸線勻速旋轉的圓筒（不計筒皮厚度），筒上開有小孔D，筒旋轉時，小孔D恰好能經過出口C處．若小球射出C口時，恰好能接著穿過D孔，并且還能再從D孔向上穿出圓筒，小球返回后又先后兩次向下穿過D孔而未發生碰撞．不計摩擦和空氣阻力，取g=10m/s2 ， 問：

（1）小球到達C點的速為多少度vc為多少？
（2）圓筒轉動的最大周期T？
（3）在圓筒以最大周期T轉動的情況下，要完成上述運動圓筒的半徑R′必須為多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：對小球從A→C由機械能守恒定律得：mgh=mgR+

代入數值解出 v0=2m/s

（2）

解：如圖所示，小球向上穿出圓筒所用時間為t1

則t1= （k=1，2，3…）

小球從離開圓筒到第二次進入圓筒所用時間為2t2．

2t2=nT （n=1，2，3…）

對小球由C豎直上拋的上升階段，由速度公式得：

0=v0﹣g（t1+t2）

聯立解得 T= s

當n=k=1時，Tmax=0.2s

（3）

解：對小球在圓筒內上升的階段，由位移公式得：

2R′=v0t1﹣

代入數值解得 R′=0.075m

【解析】（1）對小球從A→C，運用根據機械能守恒定律求出小球到達C點的速度．（2）小球向上穿出圓筒所用時間是轉動周期的奇數倍，小球從離開圓筒到第二次進入圓筒所用時間是圓筒周期的整數倍，根據豎直上拋運動的時間求出周期的通項，即可求得最大周期．（3）根據周期的表達式求出最大周期，從而求出在圓筒內豎直上升的位移，即半徑的2倍，根據該關系求出圓筒的半徑．
【考點精析】關于本題考查的機械能守恒及其條件和機械能綜合應用，需要了解在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動能和重力勢能（及彈性勢能）發生相互轉化，但機械能的總量保持不變；系統初態的總機械能E 1 等于末態的總機械能E 2 ，即E1 =E2；系統減少的總重力勢能ΔE P減 等于系統增加的總動能ΔE K增 ，即ΔE P減 =ΔE K增；若系統只有A、