Question

【題目】在物理學中，常常用等效替代、類比、微小量放大等方法來研究問題．如在牛頓發現萬有引力定律一百多年后，卡文迪許利用微小量放大法由實驗測出了萬有引力常量G的數值，如圖所示是卡文迪許扭秤實驗示意圖．卡文迪許的實驗常被稱為是“稱量地球質量”的實驗，因為由G的數值及其它已知量，就可計算出地球的質量，卡文迪許也因此被譽為第一個稱量地球的人．

（1）若在某次實驗中，卡文迪許測出質量分別為m1、m2相距為r的兩個小球之間引力的大小為F，求萬有引力常量G；
（2）若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，忽略地球自轉的影響，請推導出地球質量及地球平均密度的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據萬有引力定律有：

解得：

答：萬有引力常量為

（2）解：設地球質量為M，在地球表面任一物體質量為m，在地球表面附近滿足：

得地球的質量為：M=

地球的體積為：V=

解得：地球的密度為：

答：地球質量為 ，地球平均密度的表達式為

【解析】根據萬有引力定律 ，化簡可得萬有引力常量G；

在地球表面附近的物體受到重力等于萬有引力 ，可以解得地球的質量M，地球的體積為V= ，根據密度的定義 ，代入數據可以計算出地球平均密度．

【考點精析】關于本題考查的萬有引力定律及其應用，需要了解應用萬有引力定律分析天體的運動：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供.即 F引=F向；應用時可根據實際情況選用適當的公式進行分析或計算.②天體質量M、密度ρ的估算才能得出正確答案．