Question

【題目】已知地球半徑為R ， 引力常量為G ， 地球表面的重力加速度為g。不考慮地球自轉的影響。
（1）推導第一宇宙速度v的表達式；
（2）若衛星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h ， 飛行n圈，所用時間為t ， 求地球的平均密度。

Answer 1

【答案】
（1）

設衛星的質量為m，地球的質量為M，由于不考慮地球自轉的影響，當衛星在地球表面時受到的萬有引力近似等于重力，即

在地球表面附近的運行衛星，其軌道半徑近似等于地球半徑，萬有引力提供向心力，根據萬有引力定律和牛頓第二定律得：

以上兩式聯立解得：第一宇宙速度v的表達式為

（2）

設衛星圓軌道上運行周期為T，由題意得

衛星繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力定律和牛頓第二定律得

，解得地球的質量為：

又地球體積 ，所以地球的平均密度

【解析】解:（1）設衛星的質量為m ， 地球的質量為M ， 由于不考慮地球自轉的影響，當衛星在地球表面時受到的萬有引力近似等于重力，即
在地球表面附近的運行衛星，其軌道半徑近似等于地球半徑，萬有引力提供向心力，根據萬有引力定律和牛頓第二定律得：
以上兩式聯立解得：第一宇宙速度v的表達式為 （2）設衛星圓軌道上運行周期為T，由題意得
衛星繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力定律和牛頓第二定律得
，解得地球的質量為：
又地球體積 ，所以地球的平均密度 。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解萬有引力定律及其應用的相關知識，掌握應用萬有引力定律分析天體的運動：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供.即 F引=F向；應用時可根據實際情況選用適當的公式進行分析或計算.②天體質量M、密度ρ的估算．