Question

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B兩點，O為坐標原點，M為AB的中點．
（I）求證：直線AB與OM斜率的乘積等于e²-1（e為橢圓的離心率）；
（II）若2|

OM

|=|

AB

|且e∈(0，

2

2

)時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），由A、B在橢圓b²x²+a²y²=a²b²上，得

b2x12+a2y12=a2b2 b2x22+a2y22=a2b2

，兩式相減，得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，由此能夠證明直線AB與OM斜率的乘積等于e²-1．
（Ⅱ）連接OA，OB，當2|

OM

|=|

AB

|時，得

OA

⊥

OB

，故x₁x₂+y₁y₂=0，由

y=-x+1 b2x 2+a2y2=a2b2

，得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，由相交，得△=（-2a²）²-4a²（1-b²）（a²+b²）＞0，再由韋達定理結合題設條件能夠求出a的取值范圍．

解答：（I）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
∵A、B在橢圓b²x²+a²y²=a²b²上，
故有

b2x12+a2y12=a2b2 b2x22+a2y22=a2b2

，
兩式相減，得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，
∴kAB•kOM=

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2 2

x1+x2 2

=-

b2

a2

=-

a2-c2

a2

=e²-1．
（Ⅱ）解：連接OA，OB，當2|

OM

|=|

AB

|時，得

OA

⊥

OB

，
∴（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
由

y=-x+1 b2x 2+a2y2=a2b2

，
得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
由相交，應有△=（-2a²）²-4a²（1-b²）（a²+b²）＞0，
化簡為a²+b²＞1，
由韋達定理：x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）
=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

2a2

a2+b2

+

a2-a2b2

a2+b2

=

b2(1-a2)

a2+b2

，
∴a²-2a²b²+b²=0，
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式，有
a²-2a²（a²-a²e²）+a²-a²e²=0，
∴a2=

1

2

(1+

1

1-e2

)，
∵0＜e＜

2

2

，∴1＜a2＜

3

2

，適合條件a²+b²＞1，
由此，得1＜a＜

6

2

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，具體涉及到橢圓的簡單性質、點差法的應用、根的判別式和韋達定理的運用，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．