Question

【題目】用靜電的方法來清除空氣中的灰塵，需要首先設法使空氣中的灰塵帶上一定的電荷，然后利用靜電場對電荷的作用力，使灰塵運動到指定的區域進行收集。為簡化計算，可認為每個灰塵顆粒的質量及其所帶電荷量均相同，設每個灰塵所帶電荷量為q，其所受空氣阻力與其速度大小成正比，表達式為F阻=kv（式中k為大于0的已知常量）。由于灰塵顆粒的質量較小，為簡化計算，灰塵顆粒在空氣中受電場力作用后達到電場力與空氣阻力相等的過程所用的時間及通過的位移均可忽略不計，同時也不計灰塵顆粒之間的作用力及灰塵所受重力的影響。

（1）有一種靜電除塵的設計方案是這樣的，需要除塵的空間是一個高為H的絕緣圓桶形容器的內部區域，將一對與圓桶半徑相等的圓形薄金屬板平行置于圓桶的上、下兩端，恰好能將圓桶封閉，如圖10甲所示。在圓桶上、下兩金屬板間加上恒定的電壓U（圓桶內空間的電場可視為勻強電場），便可以在一段時間內將圓桶區域內的帶電灰塵顆粒完全吸附在金屬板上，從而達到除塵的作用。求灰塵顆粒運動可達到的最大速率 __________；

（2）對于一個待除塵的半徑為R的絕緣圓桶形容器內部區域，還可以設計另一種靜電除塵的方案：沿圓桶的軸線有一根細直導線作為電極，緊貼圓桶內壁加一個薄金屬桶作為另一電極。在直導線電極外面套有一個由絕緣材料制成的半徑為R0的圓桶形保護管，其軸線與直導線重合，如圖10乙所示。若在兩電極間加上恒定的電壓，使得桶壁處電場強度的大小恰好等于第（1）問的方案中圓桶內電場強度的大小，且已知此方案中沿圓桶半徑方向電場強度大小E的分布情況為E∝1/r，式中r為所研究的點與直導線的距離。

①試通過計算分析，帶電灰塵顆粒從保護管外壁運動到圓桶內壁的過程中，其瞬時速度大小v隨其與直導線的距離r之間的關系________；

②對于直線運動，教科書中講解了由v - t圖象下的面積求位移的方法。請你借鑒此方法，利用v隨r變化的關系，畫出1/v隨r變化的圖象，根據圖象的面積求出帶電灰塵顆粒從保護管外壁運動到圓桶內壁的時間____________。

Answer 1

【答案】

【解析】（1）圓桶形容器內的電場強度 灰塵顆粒所受的電場力大小 ，

電場力跟空氣的阻力相平衡時，灰塵達到的最大速度，并設為v1，

則有

解得

（2）①由于灰塵顆粒所在處的電場強度隨其與直導線距離的增大而減小，且桶壁處的電場強度為第（1）問方案中場強的大小E1=U/H，設在距直導線為r處的場強大小為E2，

則，解得E2=

故與直導線越近處，電場強度越大。設灰塵顆粒運動到與直導線距離為r時的速度為v，則 kv=qE2

解得

上式表明，灰塵微粒在向圓桶內壁運動過程中，速度是逐漸減小的。

②以r為橫軸，以1/v為縱軸，作出1/v-r的圖象如圖所示。

在r到r+Δr微小距離內，電場強度可視為相同，其速度v可視為相同，對應于Δr的一段1/v-r的圖線下的面積為，顯然，這個小矩形的面積等于灰塵微粒通過Δr的時間。所以，灰塵微粒從保護管外壁運動到圓桶內壁所需的總時間t2等于從R0到R一段1/v-r的圖線下的面積。

所以灰塵顆粒從保護管外壁運動到圓桶內壁的時間：