Question

（14分）如圖所示，半徑R＝0.8 m的光滑圓弧軌道固定在水平地面上，O為該圓弧的圓心，軌道上方的A處有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m＝1 kg的小物塊，小物塊由靜止開(kāi)始下落后恰好沿切線進(jìn)入圓弧軌道．此后小物塊將沿圓弧軌道下滑，已知AO連線與水平方向的夾角θ＝45°，在軌道末端C點(diǎn)緊靠一質(zhì)量M＝3 kg的長(zhǎng)木板，木板上表面與圓弧軌道末端的切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.3，g取10 m/s².求：

(1)小物塊剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小；
(2)小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
(3)要使小物塊不滑出長(zhǎng)木板，木板長(zhǎng)度L至少為多少？

Answer 1

（1）4 m/s （2）50N，方向豎直向下  （3）4m

試題分析：(1)小物塊從A到C，根據(jù)機(jī)械能守恒有：
mg×2R＝mv，解得v_C＝4 m/s.
(2)小物塊剛要到C點(diǎn)，由牛頓第二定律有：
F_N－mg＝mv/R，解得F_N＝50 N.
由牛頓第三定律，小物塊對(duì)C點(diǎn)的壓力F_N′＝50 N，方向豎直向下．
(3)設(shè)小物塊剛滑到木板右端時(shí)達(dá)到共同速度，大小為v，小物塊在長(zhǎng)木板上滑行過(guò)程中，小物塊與長(zhǎng)木板的加速度分別為：a_m＝μmg/m，a_M＝μmg/M
v＝v_C－a_mt
v＝a_Mt
由能量守恒定律得：－μmgL＝ (M＋m)v²－mv
聯(lián)立解得： L＝4 m.