Question

【題目】如圖所示，“×”型光滑金屬導軌abcd固定在絕緣水平面上，ab和cd足夠長，∠aOc=60°。虛線MN與∠bOd的平分線垂直，O點到MN的距離為L。MN左側是磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場。一輕彈簧右端固定，其軸線與∠bOd的平分線重合，自然伸長時左端恰在O點。一質量為m的導體棒ef平行于MN置于導軌上，導體棒與導軌接觸良好。某時刻使導體棒從MN的右側處由靜止開始釋放，導體在被壓縮彈簧的作用下向左運動，當導體棒運動到O點時彈簧與導體棒分離。導體棒由MN運動到O點的過程中做勻速直線運動。導體棒始終與MN平行。已知導體棒與彈簧彼此絕緣，導軌單位長度的電阻為r（導體棒電阻不計）。彈簧被壓縮后所獲得的彈性勢能可用公式計算，k為彈簧的勁度系數（且為未知量），x為彈簧的形變量。

（1）導體棒在磁場中做勻速直線運動的過程中，求感應電流的大小和速度v0的大小；

（2）求導體棒最終靜止時的位置距O點的距離。

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】試題分析：（1）根據法拉第電磁感應定律求解感應電動勢，根據閉合電路的歐姆定律求解回路中的感應電流強度；導體棒和彈簧組成的系統機械能守恒，根據機械能守恒定律列方程；再以導體棒為研究對象，根據牛頓第二定律列方程，聯立求解；（2）導體棒過O點后與彈簧脫離，根據動量定理和微元法求解導體棒最終靜止的位置距O點的距離．

（1）釋放導體棒后，在未進入磁場的過程中，導體棒和彈簧組成的系統機械能守恒，則有：

勻速進入磁場后，根據法拉第電磁感應定律得：，此時回路的電阻為：，則感應電流

設桿到O點的距離為x，根據平衡條件得：

聯立解得：，

（2）從O向左到靜止的距離為，由動量定理得：

由微元法得：

又

聯立得：