Question

探究某種筆的彈跳問題時，把筆分為輕質彈簧、內芯和外殼三部分，其中內芯和外殼質量分別為m和4m.筆的彈跳過程分為三個階段：

①把筆豎直倒立于水平硬桌面，下壓外殼使其下端接觸桌面（見題24圖a）；
②由靜止釋放，外殼豎直上升至下端距桌面高度為h₁時，與靜止的內芯碰撞（見題24圖b）；
③碰后，內芯與外殼以共同的速度一起上升到外殼下端距桌面最大高度為h₂處（見題24圖c）。
設內芯與外殼的撞擊力遠大于筆所受重力、不計摩擦與空氣阻力，重力加速度為g。求：
（1）外殼與內芯碰撞后瞬間的共同速度大小；
（2）從外殼離開桌面到碰撞前瞬間，彈簧做的功；
（3）從外殼下端離開桌面到上升至h₂處，筆損失的機械能。

Answer 1

見解析

設外殼上升高度h₁時速度為V₁，外殼與內芯碰撞后瞬間的共同速度大小為V₂，
(1)對外殼和內芯，從撞后達到共同速度到上升至h₂處，應用動能定理有
(4mg＋m)( h₂－h₁)＝(4m＋m)V₂²，解得V₂＝；
（2）外殼和內芯，碰撞過程瞬間動量守恒，有4mV₁＝(4mg＋m)V₂，
解得V₁＝，
設從外殼離開桌面到碰撞前瞬間彈簧做功為W，在此過程中，對外殼應用動能定理有
W－4mgh₁＝(4m)V₁²，
解得W＝mg；
（3）由于外殼和內芯達到共同速度后上升高度h₂的過程，機械能守恒，只是在外殼和內芯碰撞過程有能量損失，損失的能量為＝(4m)V₁²－(4m＋m)V₂²，
聯立解得＝mg(h₂－h₁)。