Question

圖（a）所示的xOy平面處于勻強磁場中，磁場方向與xOy平面(紙面)垂直，磁感應強度B隨時間t變化的周期為T，變化圖線如圖（b）所示。當B為+B₀時，磁感應強度方向指向紙外。在坐標原點O有一帶正電的粒子P，其電荷量與質量之比恰好等于。不計重力。設P在某時刻t₀以某一初速度沿y軸正方向自O點開始運動，將它經過時間T到達的點記為A。

（1）若t₀=0，則直線OA與x軸的夾角是多少？
（2）若t₀=T/4，則直線OA與x軸的夾角是多少？
（3）為了使直線OA與x軸的夾角為π/4，在0< t₀< T/4的范圍內，t₀應取何值？是多少？

Answer 1

（1）0（2）（3）

（1）設粒子P的質量為m，電荷量為q，速度為v，粒子p在洛倫茲力作用下，在xy平面內做圓周運動，用R表示圓周的半徑，T’表示運動周期，則有
①
②
由①②式與已知條件得：③
粒子P在t=0到時間內，沿順時針方向運動半個周期，到達x軸上B點，此時磁場方向反轉；繼而，在到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達x軸上A點，如圖（a）所示

OA與x軸的夾角④
（2）粒子P在時刻開始運動，在到時間內，沿順時針方向運動個圓周，到達C點，此時磁場方向反轉；繼而，在到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達B點，此時磁場再次反轉；在t=T到時間內，沿順時針方向運動個圓周，到達A點，如圖（b）所示

由幾何關系可知，A點在y軸上，即OA與x軸夾角⑤
（3）若在任意時刻粒子P開始運動，在到時間內，沿順時針方向運動到達C點，圓心O’位于x軸上，圓弧OC對應的圓心角為⑥
此時磁場方向反轉；繼而，在到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達B點，此時磁場再次反轉；在t=T到時間內，沿順時針方向作圓周運動到達A點，
設圓心為O’’，圓弧BA對應圓心角為，如圖（c）所示。

由幾何關系可知，C、B均在連線上，且
若要OA與x成角，則有
聯立解得